Теорема Гаусса

Сформулируем теорему.

þ Поток вектора напряжённости электрического поля Ф_Е в вакууме через любую замкнутую поверхность S пропорционален алгебраической сумме зарядов, расположенных в области пространства W, ограниченной этой поверхностью. Коэффициент пропорциональности в системе СИ равен :

. (2.5)

С учётом определения потока вектора напряжённости, утверждение теоремы Гаусса (2.5) можно аналитической записи предать такой вид:

, (2.6)

где N – число частиц или тел с зарядами q_i в области пространства W, охваченной замкнутой поверхностью S (символ ○ у интеграла как раз и напоминает нам о замкнутости поверхности).

Проведём теперь доказательство утверждение теоремы «по шагам», отталкиваясь от самого простого случая:

Ø а) сферическая поверхность «охватывает» точечный заряд, расположенный в её центре – см. рис. 2.3.

Рассчитаем поток вектора напряжённости. Структура поля точечного заряда нам уже хорошо известна – в любой точке пространства вектор напряжённости имеет радиальное направление, а его величина обратно пропорциональна квадрату расстояния от точечного заряда-источника поля. Отметим, прежде всего, то, что для любого малого элемента сферической поверхности направления векторов и совпадают. Это позволяет перейти от обозначения проекции вектора E_n к его модулю E(r)под знаком интеграла (мы добавили в обозначении модуля напряжённости указание на то, что имеется зависимость только от расстояния!):

.

Далее подставим известное нам выражение для напряжённости поля точечного заряда (1.5):

.

Подынтегральное выражение есть константа в пределах всей поверхности интегрирования S, поэтому её можно вынести за знак интеграла. Оставшийся интеграл в строгом соответствии с математическим определением не что иное, как площадь поверхности S, равная для сферы, как известно, 4πr². В итоге получаем для искомого потока результат:

.

Как видим, он вполне соответствует утверждению теоремы.

Ø б) сместим точечный заряд из центра всё той же сферической поверхности – см. рис. 2.4.

Обратим внимание, что вычисление поверхностного интеграла – потока в этом случае сразу существенно усложняется. Ведь теперь для каждого малого элемента поверхности угол между векторами и разный, также как разные значения принимает и модуль напряжённости. Несмотря на такие затруднения, чуть ниже мы рассчитаем этот интеграл математически строго. Но сначала посмотрим на рисунок рис. 2.4. Он помогает понять, что обсуждаемый поток ничуть не изменяется по сравнению со случаем «а». Вспомним, что поток через поверхность пропорционален числу силовых линий пересекающих эту поверхность. Это число, очевидно, не изменилось при смещении заряда из центра. Поэтому можно предполагать, что остаётся в силе и утверждение теоремы Гаусса.

Чтобы вычислить поток математически строго используем возможность записать скалярное произведение – выражение, стоящее под знаком интеграла – в несколько иной форме:

.

Здесь обозначение использовано для проекции малого элемента поверхности , перпендикулярную радиус-вектору, проведённому от заряда к элементу поверхности. Подставим выражение для напряжённости поля точечного заряда (1.5):

.

Теперь необходимо привлечь сведения из математики: отношение является мерой телесного угла dΩ, опирающегося на малый элемент сферической поверхности . Таким образом, выражение для искомого потока вектора напряжённости можно переписать в виде:

.

Выражение под знаком интеграла, очевидно, постоянная величина, а телесный угол при обходе всей замкнутой поверхности, охватывающей точечный заряд, изменяется в пределах от 0 до 4π. Учитывая это, приходим к уже знакомому результату:

.

Убедившись в том, что опора на свойства силовых линий («поток пропорционален числу силовых линий …») приводит к правильному результату, в обосновании дальнейших шагов доказательства будем использовать именно этот подход.

Ø в) замкнутая поверхность произвольной формы охватывает один точечный заряд.

Из рис. 2.5 видно, что число силовых линий «истекающих» через поверхность S наружу не изменяется даже в случае самых причудливых, например, «складчатых» замкнутых поверхностей, охватывающих точечный заряд. Несмотря на то, что в последнем случае силовая линия может пересекать поверхность S несколько раз, её итоговый вклад всегда равен «+1». Проследите по рисунку, что число «выходов» всегда на единицу превышает число «входов». Таким образом, и в этом случае поток пропорционален заряду q внутри поверхности S.

Ø г) один точечный заряд находится вне замкнутой поверхности произвольной формы.

Обратимся опять-таки к рисунку (см. рис. 2.6). Для каждой силовой линии число её пересечений с замкнутой поверхностью S всегда чётно - число пересечений «внутрь» всегда равно числу «выходов наружу». Поэтому заряд q,находящийся вне замкнутой поверхности S, не создаёт дополнительного потока через эту поверхность.

Теперь мы можем обобщить полученные результаты на самый общий случай.

Ø д) система N точечных зарядов q₁, q₂,..., q_i,..., q_N (или протяжённых заряжённых тел*)) находящихся как внутри, так и вне замкнутой поверхности S произвольной формы.

Для каждого точечного заряда q_i расположенного внутри поверхности S доказано, что создаваемый им поток через замкнутую поверхность равен

.

В то же время, любой из зарядов q_k «снаружи» потока не создают. Ранее мы обосновали справедливость принципа суперпозиции и для потоков вектора напряжённости электростатического поля

.

С учётом этого мы и можем утверждать, что полный поток через поверхность равен алгебраической сумме зарядов внутри поверхности:

или .

Что и требовалось доказать!

v Замечания