Неотрицательных функций.

Пусть Тогда

частичный интеграл будет ограничен на .

Доказательство:

Покажем, что на ( -монотонно возрастает). Действительно, пусть . Очевидно, , т.к. .

Но из I семестра известно:

Пусть на , тогда - ограничена на .

Дополнительно получим:

Но по Th.1

Рассмотрим два интеграла:

1) (1)2) (2)

Th.4 Признак сравнения.

Пусть: a) .

б) .

Тогда: а) из сходимости (2) сходимость (1)

б)из расходимости (1) расходимость(2).

Доказательство:

Пусть (2)сходится - ограничена на и

Пусть очевидно : .

Т.о. - ограничена на (1)сходится.

Аналогично: (1)расходится на - неограниченна - неограниченна (2)расходится.

Следствие.

Th.4 окажется в силе, если условие б) выполняется , т.е , или . Действительно,

, 1-ое слагаемое постоянно и не влияет на сходимость.

Th.5 Признак сравнения в предельной форме.

Пусть: а) .

б) .

в) .

Тогда: Интеграл (2)сходится (1)сходится.

Интеграл (1)расходится (2)расходится.

Доказательство:

Т.к. или

,т.к g(x)

- рассмотрим это неравенство.

Обозначив , т.к , т.о. , т.к. по Th.4 сходимость . Аналогично рассматривается расходимость.

Следствие 1.

При условиях Th.5 а) и б), и замене в) на (1)и (2)сходятся иди расходятся одновременно.

Доказательство:

Для доказательства достаточно учесть, что т.к.

по Th.5: сходимость (1) сходимость (2),расходится (2) расходится (1).

Итак, сходится (1) сходится (2),расходится (2) расходится (1).

Следствие 2.

Если (эквивалентны) при , то (1) и (2)сходятся или расходятся одновременно. Это частный случай следствия 1, т.е при l=1.

Замечание.

Аналогичные признаки сравнения можно сформулировать для других типов Н. И.

Нужно только в Th.4 потребовать выполнение неравенства на соответствующем интервале .

В Th.5 предел при нужно заменить на или .