Абсолютно сходящиеся интегралы

df.1 Пусть , несобственный интеграл

(1)

называется абсолютно сходящимся, если сходится несобственный интеграл

(2)

Если интеграл (1)сходится, а интеграл (2) расходится, то (1)называется условно сходящимся.

Аналогичные определения можно дать для других типов Н.И.

df.2 Пусть . Н. И. называется абсолютно сходящимся, если сходится Н. И. .

Th.6 О сходимости абсолютно сходящегося Н. И.

Пусть (или ) и Н. И. (или ) сходятся абсолютно. Тогда этот интеграл сходится.

Доказательство:

Пусть, например, (случай рассмотреть самостоятельно) и Н. И. сходится абсолютно. По условию - сходится (по Критерию Коши)

. Из оценки для : выполняется

Критерий Коши. А это значит - сходится.

Th.7 Признак Дирихле.

Пусть , а и выполняются следующие условия:

а) функция (первообразная для f ),

ограничена на (1), т.е. .

б) функция - монотонна, не меняет знака на ,

т.е. (2)

(3)

с) (4)

Тогда интеграл (5) –сходится.

Доказательство:

Покажем, что функция f ·g – удовлетворяет на условию Коши: т.е.

.

Согласно формуле интегрирования по частям для получаем

- (6)

Из условия (1) , что (7)

(8)

Заметим, что - если выполнено условие (2)и - если выполнено условие (3).

Поэтому для первого случая:

а во втором случае:

(9)

Поэтому из равенства (6), используя оценки (7)и(9),получаем неравенство:

(10)

Согласно условию (4),что : (11)

Поэтому для из (10)и (11)следует, что , т.е. функция f ·g удовлетворяет на условию Коши и по Th. для сходимости Н. И. чтобы выполнялось условие Коши, т.е.

. Следовательно, наш Н. И. (5) – сходится.

Следствие. (Признак Абеля)

Если а) ;

б) - сходится;

в) (т. е. выполняются условия ограниченности и монотонности (2) и (3) Th.7).

То интеграл - сходится.

Доказательство:

По Th. о пределе монотонной функции существует конечный предел

, и поэтому функция - монотонно стремится к нулю при . Из условия б) , что f имеет ограниченную первообразную . По Th.7 интеграл от функции на сходится. Т.к. , то интеграл

- сходится.

Замечание.

Признаки Дирихле и Абеля являются достаточными. Поэтому, если их условия не выполняются, то ничего нельзя сказать о сходимости интеграла.

§ 10.4 ГЛАВНОЕ ЗНАЧЕНИЕ РАСХОДЯЩЕГОСЯ НЕСОБСТВЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Пусть и - расходится.

df.1 Пусть f(x) интегрируема по Риману на любом конечном отрезке . Тогда главным значением интеграла называют конечный предел и обозначают:

(V.p. – начальные буквы французских слов valeur principal – главное значение).

Определенное таким образом главное значение отличается от определения несобственного интеграла тем, что в последнем = , переменные независимо друг от друга стремятся к и , соответственно.

Очевидно, что в случае сходимости Н. И. его главное значение тем более существует и совпадает с ним. Поэтому главное значение имеет смысл рассматривать для расходящихся интегралов.

df.2 Пусть \ .

- неограниченная в (.) c.

Тогда главным значением Н. И. называют конечный предел

Для практического использования признаков сходимости необходимо иметь «эталонные» интегралы, т.е. интегралы, о сходимости которых известно.

ПРИМЕРЫ.

№1. Найти при каких он сходится и при каких расходится.

Решение:

·

А) Исследуем на сходимость. Применим =

= понимая, что .

Пусть , тогда:

=

, если .

= , если

Первый ответ получен так: если , то и если , то

, а дробь .

Второй ответ объясняется так: если , то , а . Тогда

, когда , т.е. величина - бесконечно малая. Поэтому величина , которая нас интересует, - величина бесконечно большая.

Осталось рассмотреть случай :

= , следовательно

, если , интеграл сходится.

= ,если , интеграл расходится.

Исследуем на сходимость интеграл . Особенность интеграла в том, что при функция неопределенна в левом конце промежутка в (.) О и стремится к бесконечности при .

Применив формулу Ньютона – Лейбница, получим:

= , т.к. .

=

=

, если , интеграл сходится.

Т. о.

, если , интеграл расходится.

№2.Исследуем на сходимость интеграл: .

Решение:

- сходится.

№3.Исследуем на сходимость интегралы:

I. II.

Решение: , если

Интеграл =

, если

При , т.к. при , а при

.

Заключение:

, при - сходится

, при - расходится.

= сводится к первому интегралу подстановкой:

(Доказать самостоятельно).

№4.А) =

Пусть .

сходится, , т.к.

=

расходится, , т.к.

Пусть . - расходится, т.к. .

сходится, .

Т. о.

расходится, .

сходится, .

В)

расходится, .

Аналогично А. Сделать самостоятельно.

№5.Исследовать на сходимость:

Решение:

= (правило Лопиталя) =

= .

Т.к. расходится, то наш интеграл также расходится.

№6.Исследовать на сходимость: .

Решение:

= = этот предел не стремится ни к какому пределу, следовательно, интеграл расходится.

Замечание.

если , интеграл сходится.

Если интеграл =

если , интеграл расходится.

- интеграл сходится.

№7.Исследовать на сходимость интеграл: .

Решение: Очевидно, что интеграл расходится, т.к. не существует ни , ни .

Главное значение существует:

№8.Найти главное значение .

Решение:

Н. И. как мы видели выше, не существует. Тем не менее у него есть главное значение:

Здесь с=0.

Главное значение есть, а интеграл не существует.

№9.Вычислить интеграл .

Решение:

Положим . .

. Мы получили несобственный интеграл, который легко вычисляется следующим образом:

= .

№10.Вычислить несобственный интеграл: .

Решение:

Подынтегральная функция определена и непрерывна при всех значениях «x» и, следовательно, имеем первообразную:

По определению имеем:

.

№11.Вычислить несобственный интеграл: .

Оба предела интегрирования бесконечны, поэтому предварительно разобьем данный интеграл на два:

= +

+ = -

- .

№12.Сходится ли несобственный интеграл: .

Решение:

= . Применяем правило интегрирования по частям, полагая:

= +

= .

Этот предел не существует, следовательно, интеграл расходится.

№13.Вычислить несобственный интеграл: .

Решение:

Преобразуем интеграл следующим образом:

В интеграле подынтегральная функция непрерывна на промежутке , поэтому его можно вычислить по формуле Ньютона – Лейбница:

=

Интеграл - несобственный, т.к подынтегральная функция

при . По определению имеем:

= .

Окончательно .

№14.Вычислить несобственный интеграл: .

Решение:

Преобразуем:

. Интеграл вычисляется по формуле Ньютона – Лейбница, т.к. подынтегральная функция непрерывна.

= . Интеграл следует представить в виде суммы двух интегралов (ибо (.) разрыва x=0 лежит внутри промежутка интегрирования).

= + = 3+3 = 6.

Итак, .

№15.Исследовать на сходимость: .

Решение:

Сравним подынтегральную функцию с . Подберем такое, чтобы был конечен и отличен от «0».

Если интеграл сходится.

№16.Исследовать на сходимость: .

Решение:

= . x=1- особая точка.

интеграл расходится.

№17.Вычислить .

Решение:

Согласно определению:

= .

№18.Вычислить .

Решение:

= =

Можно было бы вести записи так:

= .

№19.Вычислить .

Решение:

Знаменатель обращается в ноль в точках x=1 и x=2. Пусть - любое фиксированное. По определению:

= + + +

+ = .

№20.Рассмотрим интеграл Дирихле: .

Решение:

Заметим, что в силу .

Поэтому = .

Положим , тогда .

По признаку Дирихле Н. И. сходится, но тогда сходится и интеграл Дирихле.