Дизъюнкция двух предикатов

Определение 19.8. Дизъюнкцией n-местного предиката , определенного на множествах , и m-местного предиката , определенного на множествах , называется новый (n+m)-местный предикат, определенный на множествах и , обозначаемый

(читается " или "), который превращается в истинное высказывание при всех тех и только тех значениях предметных переменных, при которых в истинное высказывание превращается по меньшей мере один из исходных предикатов.

Другими словами, предикат таков, что для любых предметов

и

высказывание является дизъюнкцией высказываний и .

Операцию дизъюнкции, как и операцию конъюнкции (см. абзац перед теоремой 19.6), можно применять, в частности к предикатам, имеющим общие переменные. Например, дизъюнкцией двух одноместных предикатов " — четное число" и " — простое число", определенных на , является одноместный предикат, определенный на " — четное или простое число".

Дизъюнкцией одноместных предикатов " " и " ", определенных на , является двухместный предикат " ", определенный на , который равносилен предикату " x^2+y^2\ne0" над .

Следующая теорема аналогична теореме 19.6.

Теорема 19.9. Для n-местных предикатов и , определенных на множествах , множество истинности дизъюнкции совпадает с объединением множеств истинности исходных предикатов:

Доказательство аналогично доказательству теоремы 19.6, поэтому предлагаем провести его самостоятельно.

Следствие 19.10. Дизъюнкция двух предикатов есть выполнимый предикат тогда и только тогда, когда по меньшей мере один из данных предикатов выполним.

Доказательство. Согласно § 18 (пункт"Множество истинности предиката") выполнимость предиката означает, что . Отсюда на основании теоремы 19.9 имеем . Последнее возможно в том и только в том случае, если или , т.е. если выполним предикат или выполним предикат .

Следствие 19.11. Дизъюнкция двух предикатов тождественно ложна тогда и только тогда, когда оба данных предиката тождественно ложны.

Доказательство предлагается провести самостоятельно.

Например, пусть требуется решить уравнение , т. е. найти множество истинности этого предиката, определенного на . Находим его, применяя теорему 19.9. Тогда

В другом примере дизъюнкция двух двухместных предикатов, определенных на , есть выполнимый предикат, потому что выполним один из них: (проверьте).