Конъюнкция двух предикатов

Определение 19.5. Конъюнкцией "-местного предиката , определенного на множествах , и m-местного предиката , определенного на множествах , называется новый (n+m)-местный предикат, определенный на множествах

, обозначаемый

(читается " и "), который превращается в истинное высказывание при всех тех и только тех значениях предметных переменных, при которых оба исходных предиката превращаются в истинные высказывания.

Другими словами, предикат таков, что для любых предметов и высказывание является конъюнкцией высказываний и .

Например, конъюнкцией двух одноместных предикатов " " и " ", определенных на , будет одноместный предикат " ", записываемый короче в виде: " ", который равносилен предикату " " (см. замечание 19.4).

Другой пример. Конъюнкцией двух одноместных предикатов " " и " ", заданных на , является двухместный предикат " ", заданный на , который равносилен предикату " ", определенному также на .

Операцию конъюнкции можно применять к предикатам, имеющим общие переменные. В этом случае число переменных в новом предикате равно числу , где — число переменных первого предиката, — число переменных второго предиката, — число переменных общих для обоих предикатов. Именно таков первый из только что рассмотренных двух примеров. Более того, если оба предиката определены на одних и тех же множествах и зависят от одних и тех же переменных, то для них справедлива следующая теорема.

Теорема 19.6. Для n-местных предикатов и , определенных на множествах , множество истинности конъюнкции совпадает с пересечением множеств истинности исходных предикатов:

Доказательство. Согласно определениям 19.5, 18.3 и определению пересечения множеств имеем

Следствие 19.7. Конъюнкция двух предикатов тождественно истинна тогда и только тогда, когда оба данных предиката тождественно истинны.

Доказательство. Согласно пункту "Множество истинности предиката", тождественная истинность предиката означает, что

Тогда на основании теоремы , т.е. пересечение двух подмножеств и множества совпадает с самим этим множеством. Следовательно,

а это означает, что предикаты и тождественно истинны.

Значительный раздел школьной математики составляют системы уравнений и неравенств. При их решении используется теорема 19.6. Пусть, например, требуется решить систему неравенств . Для этого нужно найти множество истинности предиката " ", определенного на . Используем теорему 19.6:

Таким образом, решением данной системы является множество (полуинтервал) .

Следует отметить, что в предикаты и , о которых идет речь в теореме 19.6, некоторые предметные переменные могут в действительности не входить, т.е., как говорят, быть фиктивными. Это нужно понимать так, что значение истинности высказывания, в которое превращается данный предикат, не зависит от того, какие предметы подставляются вместо таких (фиктивных) переменных. При решении систем уравнений и неравенств данная ситуация встречается часто. Так, например, решения системы уравнений образуют множество, состоящее из одной упорядоченной тройки чисел , хотя первое уравнение не зависит от , второе — от , а третье — от .