Отрицание предиката

Определение 19.1. Отрицанием n-местного предиката , определенного на множествах , называется новый n-местный предикат, определенный на тех же множествах, обозначаемый (читается: "неверно, что , который превращается в истинное высказывание при всех тех и только тех значениях предметных переменных, при которых исходное высказывание превращается в ложное высказывание.

Другими словами, предикат таков, что для любых предметов высказывание является отрицанием высказывания .

Например, нетрудно понять, что отрицанием одноместного предиката " ", определенного на множестве , является одноместный предикат " ", определенный на том же множестве . Отрицанием предиката "Река впадает в озеро Байкал" является предикат "Река не впадает в озеро Байкал" (оба одноместных предиката определены на множестве названий рек). Отрицанием предиката " " является предикат " " .

Теорема 19.2. Для n-местного предиката , определенного на множествах , множество истинности его отрицания совпадает с дополнением множества истинности данного предиката: .

Здесь следует понимать, что дополнение рассматривается в множестве

, то есть .

Доказательство. Согласно определениям 19.1, 18.3 и определению дополнения множества имеем

что и требовалось доказать.

Следствие 19.3. Отрицание предиката будет тождественно истинным тогда и только тогда, когда исходный предикат тождественно ложен.

Доказательство. В предыдущей лекции (пункт "Множество истинности предиката") тождественная истинность предиката выражена на языке множества истинности; она означает, что . Подставим в это равенство значение для из настоящей теоремы:

Вспоминая определение разности двух множеств и учитывая, что , заключаем, что . Значит, предикат тождественно ложен. Следствие доказано.

Рассмотрим еще один пример. Требуется выяснить, является ли предикат " — нечетная функция" отрицанием предиката " — четная функция" (оба одноместных предиката определены на множестве всех действительных функций одного действительного аргумента). Множество истинности предиката не является дополнением множества истинности предиката , потому что не всякая функция, не являющаяся четной, будет непременно нечетной. Другими словами, существуют функции, не являющиеся одновременно ни четными, ни нечетными (приведите пример!). Следовательно, предикат не есть отрицание предиката .

Замечание 19.4. В алгебре высказываний существенным было не содержание высказывания, а лишь его значение истинности, т.е. отождествлялись (не различались) между собой, с одной стороны, все истинные высказывания, а с другой — все ложные. В некотором смысле аналогичная ситуация имеется и в алгебре предикатов: здесь не различают равносильные предикаты. Подходя с такой точки зрения к определению 19.1 отрицания предиката, можем за отрицание данного предиката принять любой из равносильных предикатов, удовлетворяющих этому определению. Например, отрицанием предиката " ", заданного на , является каждый из следующих (равносильных между собой) предикатов:

а отрицанием предиката " ", также определенного на (этот предикат тождественно истинный), является каждый из следующих предикатов:

и т.д.

Сделанное замечание следует иметь в виду при рассмотрении и остальных логических операций в настоящем параграфе.