Равносильность и следование предикатов

Определение 18.4. Два n-местных предиката и , заданных над одними и теми же множествами , называются равносильными, если набор предметов (элементов) превращает первый предикат в истинное высказывание в том и только в том случае, когда этот набор предметов превращает второй предикат в истинное высказывание .

Другими словами (на языке множеств истинности), предикаты и равносильны тогда и только тогда, когда их множества истинности совпадают. .

Утверждение о равносильности двух предикатов и символически будем записывать так: . Отношение равносильности предикатов является отношением эквивалентности, так что совокупность всех n-местных предикатов, определенных на множествах , распадается на непересекающиеся классы равносильных предикатов (все они определяют одну и ту же функцию, заданную на множествах и принимающую значения в двухэлементном множестве ). Переход от предиката к равносильному ему предикату называется равносильным преобразованием первого. Это понятие очень важно для школьной математики, потому что изучаемые в ней уравнения и неравенства представляют собой частные виды предикатов. Решение уравнения и неравенства есть поиск их множеств истинности. При таком поиске мы проделываем над уравнением и неравенством различные преобразования, и здесь важно, чтобы эти преобразования были равносильными, т. е. чтобы найденное множество оказалось бы множеством истинности именно исходного уравнения или неравенства. Аналогична ситуация при решении систем уравнений или неравенств.

Рассмотрим простой пример. Пусть требуется решить уравнение (найти множество истинности предиката): . Преобразуем его равносильным образом:

Ответ: — множество всех решений данного уравнения (множество истинности данного предиката).

Отметим следующее немаловажное обстоятельство: может быть так, что два предиката равносильны, если их рассматривать над одним множеством, и неравносильны, если их рассматривать над другим (в частности, объемлющим первое) множеством. Такова, например, ситуация с предикатами: и .

Определение 18.5. Предикат , заданный над множествами , называется следствием предиката , заданного над теми же множествами, если он превращается в истинное высказывание на всех тех наборах значений предметных переменных из соответствующих множеств, на которых в истинное высказывание превращается предикат .

Другими словами (в терминах множеств истинности), можно сказать, что предикат является следствием предиката тогда и только тогда, когда .

Утверждение о том, что предикат является следствием предиката , будем символически записывать так: .

Например, одноместный предикат, определенный на множестве натуральных чисел, " делится на 3" является следствием одноместного предиката, определенного на том же множестве, " делится на 6". Из двух предикатов, упомянутых перед последним определением, первый будет следствием второго, если считать, что оба предиката заданы на множестве целых чисел.

Язык множеств истинности позволяет установить взаимосвязь между понятиями равносильности и следования предикатов: два предиката, определенные на одних и тех же множествах, равносильны тогда и только тогда, когда каждый из них является следствием другого. Кроме того, этот же язык дает возможность без труда установить следующие простые теоремы.

Теорема 18.6. Каждые два тождественно истинных (тождественно ложных) предиката, заданных на одних и тех же множествах, равносильны. Обратно, всякий предикат, равносильный тождественно истинному (тождественно ложному) предикату, сам является тождественно истинным (тождественно ложным) предикатом.

Теорема 18.7. Каждый тождественно истинный n-местный предикат является следствием любого другого n-местного предиката, определенного на тех же множествах. Каждый n-местный предикат является следствием любого тождественно ложного n-местного предиката, определенного на тех же множествах.

Теорема 18.8. Пусть и — два n-местных предиката, определенные на одних и тех же множествах, такие, что есть следствие . Тогда:

а) если тождественно истинный (выполнимый), то и тождественно истинный (выполнимый);

б) если тождественно ложный (опровержимый), то и тождественно ложный (опровержимый).

Доказательство теоремы 18.8:

а) Поскольку , поэтому . Если теперь тождественно истинный предикат, то

(где — множества, на которых определены n-местные предикаты и ).

Но . Поэтому , а, значит, предикат — тождественно истинный предикат. Если же — выполнимый предикат, то . Но . Тогда и — выполнимый предикат.

б) Пусть — тождественно ложный предикат. Тогда . Но , поэтому . Следовательно, предикат — тождественно ложный. Наконец, пусть — опровержимый предикат. Тогда . Поскольку, кроме того,

и , то .

Следовательно, предикат — опровержимый.

Отыщите самостоятельно в настоящем и предыдущем пунктах данной лекции утверждения, обосновывающие остальные сформулированные теоремы.