Множество истинности предиката

Определение 18.3. Множеством истинности предиката , заданного на множествах , называется совокупность всех упорядоченных n-систем , в которых , таких, что данный предикат обращается в истинное высказывание при подстановке . Это множество будем обозначать . Таким образом,

Множество истинности "-местного предиката представляет собой n-арное отношение между элементами множеств . Если предикат — одноместный, заданный над множеством , то его множество истинности является подмножеством множества .

Например, множеством истинности двухместного предиката "Точка принадлежит прямой ", заданного на множестве всех точек плоскости и на множестве всех прямых этой плоскости, является бинарное отношение принадлежности (инцидентности) между точками и прямыми плоскости. Другой пример. Множество истинности двухместного предиката , заданного на множестве , есть множество всех таких пар действительных чисел, которые являются координатами точек плоскости, образующими окружность с центром в начале координат и радиуса 3. Наконец, если " " — одноместный предикат над , то , или .

В терминах множества истинности легко выразить понятия, связанные с классификацией предикатов (определение 18.2). В самом деле, n-местный предикат , заданный на множествах , будет:

а) тождественно истинным тогда и только тогда, когда ;
б) тождественно ложным тогда и только тогда, когда ;
в) выполнимым тогда и только тогда, когда ;
г) опровержимым тогда и только тогда, когда .

На языке множеств истинности еще более отчетливо проясняются закономерности взаимосвязей между предикатами различных типов, отмеченные в конце предыдущего пункта. Проанализируйте их еще раз.