Понятие предиката

Логика предикатов

Предикаты вслед за высказываниями являются следующим важным предметом, исследуемым математической логикой. Понятие предиката обобщает понятие высказывания, а теория предикатов представляет собой более тонкий инструмент, по сравнению с теорией высказываний, для изучения закономерностей процессов умозаключения и логического следования, составляющих предмет математической логики. В настоящей главе рассматриваются основы теории предикатов.

Понятие предиката

В высказывании все четко: это — конкретное утверждение о конкретных объектах — истинное или ложное. Предикат — предложение, похожее на высказывание, но все же им не являющееся: о нем нельзя судить, истинно оно или ложно. Дадим точное определение.

Определение 18.1. Определенным на множествах n-местным предикатом называется предложение, содержащее переменных , превращающееся в высказывание при подстановке вместо этих переменных любых конкретных элементов из множеств соответственно.

Для n-местного предиката будем использовать обозначение . Переменные называют предметными, а элементы множеств , которые эти переменные пробегают, — конкретными предметами. Всякий n-местный предикат , определенный на множествах , представляет собой функцию п аргументов, заданную на указанных множествах и принимающую значения в множестве всех высказываний. Поэтому предикат называют также функцией-высказыванием.

Рассмотрим пример. Предложение "Река впадает в озеро Байкал" является одноместным предикатом, определенным над множеством всех названий рек. Подставив вместо предметной переменной название "Баргузин", получим высказывание "Река Баргузин впадает в озеро Байкал". Это высказывание истинно. Подставив вместо предметной переменной название "Днепр", получим ложное высказывание "Река Днепр впадает в озеро Байкал".

Другой пример. Предложение (выражение) " " является двухместным предикатом, заданным над множествами . Множества, на которых задан двухместный предикат, совпадают (говорят, что "двухместный предикат задан на множестве "). Пара действительных чисел 2, 2 превращает данный предикат в истинное высказывание: " ", а пара чисел 2, 3 — в ложное: " ".

Отметим еще один подход к понятию предиката. Как отмечалось, предикат , определенный на множествах , превращается в конкретное высказывание , если вместо предметных переменных подставить в него конкретные предметы (элементы ) из множеств соответственно. Это высказывание может быть либо истинным, либо ложным, т. е. его логическое значение равно 1 или 0. Следовательно, данный предикат определяет функцию аргументов, заданную на множествах принимающую значение в двухэлементном множестве . Иногда эту функцию и называют предикатом.