Ранг матрицы

Для решения и исследования ряда математических и приклад­ных задач важное значение имеет понятие ранга матрицы.

Определитель k - го порядка, составленный из элементов матрицы A, стоящих на пересечении строк с номерами и столбов с номерами называется минором k - го порядка (матрицы или определителя), где k < min , и обозначается

.

Минор, расположенный на первых k строках и первых k столбцах, называется ведущим или угловым. Минор, расположенный на столбах и строках с одинаковыми номерами, называется главным.

Например, из матрицы можно получить миноры первого, второго и третьего порядков.

Рангом матрицы A называется наивысший поря­док отличных от нуля миноров этой матрицы.

Ранг матрицы A обозначается rang A, rank A, или r (А).

Из определения следует:

а) r(А) min ; т.е. ранг матрицы не превосходит меньшего из ее размеров,

б) r(А) = 0 тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны нулю, т.е. А = O;

в) для квадратной матрицы n-го порядка r(A) = n тогда и толь­ко тогда, когда

матрица A - невырожденная.

В общем случае определение ранга матрицы перебором всех миноров достаточно трудоемко. Для облегчения этой задачи ис­пользуются преобразования, сохраняющие ранг матрицы.

Назовем элементарными преобразованиями матрицыследую­щие:

1) Отбрасывание нулевой строки (столбца).

2) Умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на чис­ло, не равное нулю.

3) Изменение порядка строк (столбцов) матрицы.

4) Прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) со­ответствующих

элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число.

5) Транспонирование матрицы.

Теорема 3.2. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преоб­разованиях матрицы.

□ При изучении свойств определителей было показано, что при преобразованиях квадратных матриц их определители либо сохраняются, либо умножаются на число, не равное нулю. В ре­зультате сохраняется наивысший порядок отличных от нуля ми­норов исходной матрицы, то есть ее ранг не изменяется. С помощью элементарных преобразований можно привести матрицу к так называемому ступенчатому виду, когда вычисление ее ранга не представляет труда.■

Матрица A называется ступенчатой, если она имеет вид:

, где , .

Замечание. Условие всегда может быть достигнуто транспонированием матрицы.

Очевидно, что ранг ступенчатой матрицы равен r, так как угловой минор r-го порядка не равен нулю.

Для рангов матриц справедливы следующие соотношения:
1) ,

2) ,

3) r(А) + r(В) - n - неравенство Сильвестра,

где n - число столбцов матрицы A или строк матрицы В.