Матрицами элементарных преобразований называются матрицы трех типов

При умножении матрицы А слева на матрицу
в матрице А переставляются местами 2 и 3 строки.
Умножение матрицы А слева на матрицу
равносильно умножению i строки матрицы А на число а
Умножение матрицы А слева на матрицу
равносильно прибавлению к i строке j строку умноженную на число b. Например

Теорема(об умножении матрицы А на матрицыэлементарных преобразований)
Любая невырожденная матрица А путем умножения на матрицыэлементарных преобразований
может быть сведена к единичной, то есть можно подобрать такие матрицы
последовательное умножение которых на матрицу А слева преобразует матрицу А в единичную
(3.2)
Умножения матрицы А на матрицы элементарных преобразований равносильно элементарным преобразования матрицы А. Умножим (3ю2) на матрицу


Это лежит в основе второго способа получения обратной матрицы. Составим расширенную матрицу
и умножая на матрицы элементарных преобразований элементарными преобразованиями слева (что равносильно проведению элементарных преобразований матрицы
) приведем ее к виду (
)
Например найти обратную матрицу для 




3 Способ По определению обратной матрицы.
Найти обратную матрицу для
. Пусть А–1 =
. Тогда перемножив матрицы получаем

Матрица А, равная своей обратной, называется инволютивной (взаимнообратной), то есть А–1 = А. В частности, единичная матрица является инволютивной En = En–1. Определитель инволютивной матрицы равен +1.Ортогональная матрица — квадратная матрица A с вещественными элементами, результат умножения которой на AT равен единичной матрице: или, что эквивалентно, её обратная матрица равна транспонированной матрице... Пример. Ортогональной матрицы 
