Линейная комбинации строк или столбцов матриц

Понятие ранга матрицы тесно связано с понятием линейной зависимости (независимости) ее строк или столбцов. В дальнейшем будем излагать материал для строк, для столбцов изложение аналогично.

В матрице A обозначим ее строки следующим образом:

, , …. ,

Две строки матрицы называются равными, если равны их со­ответствующие элементы: , если , .

Арифметические операции над строками матрицы (умножение строки на число, сложение строк) вводятся как операции, прово­димые поэлементно:

,

Строка е называется линейной комбинацией строк ..., матрицы, если она равна сумме произведений этих строк на произвольные действительные числа:

, (3.2)

Строки матрицы называются линейно зависимы­ми, если существуют такие числа , не равные одно­временно нулю, что линейная комбинация строк матрицы равна нулевой строке:

, =(0,0,...,0). (3.3)

Теорема 3.3 Строки матрицы линейно зависимы, если хотя бы одна строка матрицы является линейной комбинацией остальных.

□ Действительно, пусть для определенности в формуле (3.3) , тогда

.

Таким образом, строка является линейной комбинат остальных строк. ■

Если линейная комбинация строк (3.3) равна нулю тогда и только тогда, когда все коэффициенты равны нулю, то строки называются линейно независимыми.

Теорема 3.4.(о ранге матрицы) Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк или столбцов, через которые линейно выражаются все остальные ее строки (столбцы).

□ Пусть матрица A размера m n имеет ранг r (r min ). Это означает, что существует отличный от нуля минор r-го порядка. Всякий ненулевой минор r-го порядка будем называть базисным минором.

Пусть для определенности базисный минор есть ведущий или угловой минор.Тогда строки матрицы линейно независимы. Предположим противное, то есть одна из этих строк, например , является линейной комбинацией остальных . Вычтем из элементов r - ой строки элементы 1-й строки, умноженные на , затем элементы 2-й строки, умноженные на , … и элементы (r -1) - ой строки, умноженные на . На ос­новании свойства 8 при таких преобразованиях мат­рицы ее определитель D не изменится, но так как r - я строка будет теперь состоять из одних нулей, то D = 0 - противоречие. Следовательно, наше предположение о том, что строки матрицы линейно зависимые, неверно.

Строки назовем базисными. Покажем, что любые (r+1) строк матрицы линейно зависимы, т.е. любая строка выражается через базисные.

Рассмотрим минор (r +1) - го порядка, который получается при дополнении рассматриваемого минора элементами еще одной строки i и столбца j. Этот минор равен нулю, так как ранг матрицы равен r, поэто­му любой минор более высокого порядка равен нулю.

Раскладывая его по элементам последнего (добавленного) столбца, получаем

, где модуль послед­него алгебраического дополнения совпадает с базисным мино­ром D и поэтому отлично от нуля, т.е. 0.

Разделив последнее равенство на , можем выразить элемент как линейную комбинацию: где .

Фиксируем значение i (i >r) и получаем, что для любого j (j = 1,2,...,n) элементы i - ой строки , линейно выражаются через элементы строк , т.е. i-я строка есть линейная комбинация базисных: .■

Теорема о ранге матрицы играет принципиальную роль в матричном анализе, в частности, при исследовании систем линейных уравнений.

Литература.

1. Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник. /Под ред.В.И.Ермакова.-М.:ИНФРА-М,20001.-656с.

2. Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения. - М.: Наука,1979.-392с.

3. Воеводин В.В., Кузнецов Ю. А. Матрицы и вычисления.- М.: Наука, 1984.-320с.

4. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра.- М.: «Наука»,1978.- 304с.