Обратная матрица

Для каждого числа существует обратное число та­кое, что произведение

= 1. Для квадратных матриц тоже вводится аналогичное понятие.

Матрица называется обратной по отноше­нию к квадратной матрице A, если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица: = = E

Из определения следует, что только квадратная матрица имеет обратную; в этом случае и обратная матрица является квадратной того же порядка.

Однако не каждая квадратная матрица имеет обратную.

Если является необходимым и достаточным условием существо­вания числа , то для существования матрицы таким усло­вием является требование .

Если определитель матрицы отличен от нуля , то та­кая квадратная матрица называется невырожденной или неособен­ной; в противном случае (при = 0) - вырожденной или осо­бенной.

Теорема 3.1.(необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы). Обратная матрица существует и единст­венна тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожден­ная.

□ Необходимость. Пусть матрица A имеет обратную , то есть = = E

По свойству 10 определителей имеем .

Достаточность. Пусть . Рассмотрим квадратную матрицу n-го порядка , называемую присоединенной, элементы которой являются алгебраическими дополнениями элементов матрицы A', транспонированной к A: , . Тогда элементы произведения матриц A=B оп­ределяются по правилу умножения матриц: = = , (см. теорему 5.4).

Поэтому матрица B является диагональной, элементы ее глав­ной диагонали равны определителю исходной матрицы: B=diaq = E

Аналогично доказывается, что произведение A на равно той же матрице B: A = A =B. Отсюда следует, что если в качестве обратной матрицы взять матрицу

, (3.1)

то произведения = = E .

Единственность. Пред­положим, что существуют еще матрицы X и Y, такие, что X и Y , где матрица получена по формуле (3.1), и выполнятся равенства: AX = Е и YA = Е. Тогда, умножая на слева первое из них, получаем: АХ = Е, откуда ЕХ = Е, т.е. X = . Аналогично, умножая второе равенство на справа, получаем Y = . Единственность доказана. ■

Алгоритм вычисления обратной матрицы:

1°. Находим определитель исходной матрицы.

Если = 0 , то матрица A – вырожденная и обратной матрицы не существует.

Если 0, то матрица A - невырожденная и обратная матрица существует.

2°. Находим матрицу , транспонированную к А.

3°. Находим алгебраические дополнения элементов транспо­нированной матрицы

, и состав­ляем из них присоединенную матрицу

= , или .

4°. Вычисляем обратную матрицу по формуле (3.1)

.

5°. Проверяем правильность вычисления обратной матрицы , исходя из ее

определения = = E (п. 5° не обя­зателен).