Двійкова арифметика.

Таблиця істинності однорозрядного суматора

а₅ а_о æ å А₂= 0 0 0 1 1 1 = А₁₀ = 7 + В₂= 0 1 0 0 1 1 = В₁₀ = 19 ä __________ ã b₅ b_о S₂= 0 1 1 0 1 0 = S₁₀ = 26 _ ê_ ê_ ê Р₂Р₁ Р_о

При виконанні арифметичних операцій над двійковими числами необхідно враховувати знак числа. З цією метою вводиться додатковий
знаковий розряд z, що, звичайно, розташовується перед числовими розрядами. Для позитивних чисел значення знакового розряду z = 0, для негативних чисел z = 1.

Як і в десятковій системі числення, операція додавання двох позитивних n-розрядних чисел і виконується порозрядно, починаючи з молодшого. Розрядні числа і сумуються по модулю 2 з урахуванням переносу з попереднього (молодшого) розряду відповідно до таблиці 10.1. Сума , якщо кількість доданків із значенням 1 непарна, а перенос у наступний розряд = 1, якщо кількість таких складає не менше двох.

Таблиця 10.1 Приклад 10.1

Приклад 10.2

Операцію вирахування (віднімання) в цифровій техніці реалізують за допомогою додавання. Для цього від'ємник, включаючи його знаковий розряд, представляють у зворотному коді. Якщо в результаті підсумовування в знаковому розряді утвориться перенос, то ця одиниця додається до молодшого розряду суми. Такий додаток одиниці називають циклічним переносом. Знак результату визначається отриманим значенням знакового розряду .

У загальному випадку для виконання операцій додавання і вирахування зручно представляти негативні числа у зворотному коді, а позитивні – у прямому. Вирахування заміняється додаванням із перекладом від'ємника у зворотний код, якщо це число позитивне, і в прямий код, якщо число негативне.

Якщо результат операції виходить негативний ( = 1), то він представлений у зворотному коді, якщо позитивним ( = 0) – у прямому коді.

Приклад 10.3.

Недоліком використання зворотного коду є утворення циклічного переносу, що приводить до повторення операції додавання, що значно збільшує час виконання дій.

При використанні додаткового коду дії додавання і вирахування виконуються так само, як із використанням зворотного коду, але простіше і швидше, тому що відпадає необхідність у циклічному переносі зі знакового розряду. Однак перетворення числа в додатковий код технічно реалізується складніше, ніж у зворотний.

Множення двійкових багаторозрядних чисел у принципі не відрізняється від множення десяткових чисел. Тому що приватний добуток багаторозрядного числа на 1 дорівнює цьому числу, а множення на 0 дає нулі у всіх розрядах, дія множення зводиться, таким чином, до операцій зрушення і додавання приватних добутків. Очевидно, що при цьому можна опустити проміжний результат множення на нуль і просто зрушити вліво наступний проміжний добуток (приклад 10.4).

Двійковий розподіл (ділення) теж аналогічний десятковому, але завдяки меншому числу цифр у системі числення операція виходить більш простій. Це видно з приклада 10.5 (розподіл 101101₂ = 45₁₀ на 1001₂ = 9₁₀).

Розподіл (ділення) зводиться до операцій зрушення і вирахування.

Розглянуті вище арифметичні операції відносяться до операцій над двійковими числами, представленими у формі з фіксованою комою, коли число відображається у виді єдиного цілого, кожен розряд його має незмінну вагу. На практиці, із метою розширення діапазону чисел, використовують форму з комою, що плаває. Тут число складається з двох частин: мантиси т, що містить значення цифри числа, і порядку р, що показує ступінь, у яку треба звести підставу числення q, щоб отримане при цьому число, помножене на мантису, давало істинне значення числа, що представляється:

(10.3)

Арифметичні дії над числами з комою, що плаває, реалізуються трохи складніше, ніж над числами з фіксованою комою, тому що тут необхідно виконувати операції як над мантисами, так і над порядком.

Порушимо третє питання лекції.