3. Основні аксіоми і закони булевої алгебри................................... 8
4. Виконання логічних та арифметичних операцій..................... 13
Розглянемо перше питання лекції.
Системи числення.
Усяке число представляється (кодується) набором цифр у визначеній системі числення. Найбільше поширення одержали позиційні системи числення, у яких кожна цифра виражає число не тільки своїм значенням, але і положенням (позицією) серед інших цифр. Підстава (російською мовою – основание) системи − це число q, рівне кількості різних цифр, необхідних для вираження всіх чисел у межах одного розряду. Позитивне число з i розрядів у позиційній системі з підставою q може бути представлене як
(10.1)
де а – будь-яка цифра від 0 до q – 1 включно;
перший член являє собою старший розряд числа, а останній − молодший.
Кодоване в десятковій системі числення число, наприклад, 397, представляється як 39710 = 3∙ 102 + 9∙ 101 + 7∙ 10о.
У цифровій техніці знайшли переважне застосування елементи з двома робочими станами, один з яких ототожнюється з цифрою 1, а другий– з 0. Тому тут поширене так зване натуральне двійкове кодування, при якому n- розрядне число виражається як
(10.2)
де може приймати значення 1чи 0. Наприклад, число 1310 при двійковому кодуванні має вид 11012.
А число 4510 (дивись приклад 1) при двійковому кодуванні має вид 1011012.
Приклад 1. Перевод чисел із двійкового в десятковий код.
Перевести число 1011012 у десяткову систему числення:
Переклад із десяткової у двійкову систему числення здійснюється послідовним розподілом десяткового числа на підставу системи числення q=2 (дивись приклад 2).
Приклад 2. Перевод чисел із десяткового в двійковий код.
Поряд із цим знаходять застосування й інші коди, що дозволяють спростити арифметичні дії. До них відносяться, зокрема, зворотний і додатковий коди.
Двійкове число у зворотному коді є інверсією прямого коду (усі нулі прямого коду числа заміняються одиницями, а одиниці – нулями). Додатковий код утвориться зі зворотного коду додаванням до нього 1. Так, десятковому числу 13 у зворотному двійковому коді відповідає число 0010, а в додатковому 0011.
Як видно з таблиці, у двійковій системі числення кожне наступне число виходить додатком одиниці до молодшого розряду, причому сума нуля й одиниці дає одиницю, а сума двох одиниць дає нуль і перенос одиниці в старший розряд, де знову сумується цифра розряду і перенесена одиниця і т.д. Така операція називається "сума по модулю два".
Широко застосовується двійково-десятковий код, у якому цифри кожного розряду десяткового числа представляються чотирьохрозрядним двійковим числом (тетрадою). Так, число А10 = 397 у двійково-десятковому коді має вид А2 − 10 = 0011 1001 0111. Основне достоїнство двійково-десяткового коду полягає в простоті взаємного перекладу десяткових і двійкових чисел апаратними засобами. Головний недолік – громіздкість запису і надмірність, тому що шість двійкових комбінацій у кожної тетраді (від 10102 = 1010 до 11112 = 1510) не використовуються.
У таблиці 1 приведені приклади запису чисел у двійковій, десятковій і шістнадцятковій системах числення.
Таблиця 1.
A
B
C
D
E
F
Як видно з таблиці, у двійковій системі числення кожне наступне число виходить додатком одиниці до молодшого розряду, причому сума нуля й одиниці дає одиницю, а сума двох одиниць дає нуль і перенос одиниці в старший розряд, де знову сумується цифра розряду і перенесена одиниця і т.д. Така операція називається "сума по модулю два".
Широко застосовується двійково-десятковий код, у якому цифри кожного розряду десяткового числа представляються чотирьохрозрядним двійковим числом (тетрадою). Так, число А10 = 397 у двійково-десятковому коді має вид А2 − 10 = 0011 1001 0111. Основна перевага двійково-десяткового коду полягає в простоті взаємного перекладу десяткових і двійкових чисел апаратними засобами. Головний недолік – громіздкість запису і надмірність, тому що шість двійкових комбінацій у кожної тетраді (від 10102 = 1010 до 11112 = 1510) не використовуються.
Останнього недоліку позбавлене двійково-шістнадцяткове кодування. Тут усі 16 двійкових комбінацій тетрад використовуються. Вони відповідають числам у шістнадцятковій системі числення, що позначається від 0 до 9 десятковими цифрами і від 10 до 15 буквами А, B, C, D, Е, F. Наприклад, число 39710 у шістнадцятковому коді має вид 18D16 (1∙ 162 + 8∙ 161 + 13∙ 16о), а у двійково-шістнадцятковому – 0001 1000 11012 − 16. Як видно, тут тетради відображають числа 1, 8 і D шістнадцяткової системи числення, а в сукупності являють собою звичайний двійковий код.
Переклад чисел із системи числення з довільною підставою q у десяткову систему числення (q=10) виконується по вищенаведених формулах, для чого потрібно перевести в десяткову систему числення числа аi і q. Трохи складніше перевести числа з десяткової системи числення в систему числення з підставою q ¹ 10. Найбільше просто така операція виконується для q=2, 8, 16.
Нехай потрібно перевести десяткове число (199310) у шістнадцяткову систему числення. Переклад здійснюється послідовним розподілом десяткового числа на підставу системи числення q=16.
(10.1)
(10.2)
може приймати значення 1чи 0. Наприклад, число 1310 при двійковому кодуванні має вид 11012.
