Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Пусть поверхность задана уравнением , левая часть которого является функцией дифференцируемой в некоторой области. Эта функция определяет скалярное поле, является одной из поверхностей уровня.

Пусть в точке , тогда все касательные, проведенные в точке к линиям, лежащим на поверхности уровня и проходящим через точку , расположены в одной плоскости, перпендикулярной вектору .

Эта плоскость называется касательной плоскостью к поверхности , точке .

Найдем уравнение этой плоскости. Оно будет иметь вид:

Так как вектор = + + перпендикулярен касательной плоскости, то его можно принять за нормальный вектор этой плоскости, т.е. можно положить

, , .

Тогда уравнение плоскости, проходящей через заданную точку с заданным вектором нормали, будет уравнением касательной плоскости, т.е.

.

Пусть поверхность имеет в некоторой точке касательную плоскость. Определение. Прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно этой плоскости, называется нормалью к поверхности в точке .

Вектор , очевидно, направлен вдоль нормали и поэтому может быть принят в качестве ее направляющего вектора. Тогда каноническое уравнение нормали имеет следующий вид: .

Пример.

1)Найти уравнения касательной плоскости и нормали к однополостному гиперболоиду в точке .

. Найдем частные производные:

, , , тогда

+ + = .

Искомые уравнения плоскости и нормали будут следующими:

, .

2) Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

в точке ( 1,1,1 ).

. Найдем частные производные:

, , , тогда

+ + = .

Искомые уравнения плоскости и нормали будут следующими:

, .