Если в пространстве ввести систему координат, то точка Р в этой

системе будет иметь определенные координаты и скалярная величина станет функцией этих координат: . Обратно, всякая функция трех переменных задает некоторое скалярное поле. Скалярное поле часто геометрически изображается с помощью так называемых поверхностей уровня.

Определение.Поверхностью уровня скалярного поля называется геометрическое место точек пространства, в которой функция поля имеет одно и тоже значение С.

Уравнение поверхности уровня имеет вид : , придавая С различные значения, получим семейство поверхностей уровня.

Например, если поле задано функцией , то поверхностями уровня будут сферы с центром в начале координат.

Наряду со скалярным полем в пространстве рассматриваются также плоские скалярные поля. Функция плоского скалярного поля зависит то двух переменных:

Плоские скалярные поля изображаются геометрически с помощью линий уровня. Для функции плоского скалярного поля линия уровня имеет следующий вид: , где С – постоянная.

Например, для плоского скалярного поля, заданного функцией , линиями уровня являются равносторонние гиперболы.

.

Пусть задана дифференцируемая функция скалярного поля .

Рассмотрим точку этого поля и луч ,выходящий из точки Р в направлении единичного вектора , где углы вектора с осями координат.

Пусть - какая-нибудь другая точка этого луча. Обозначим через расстояние между точками и .

Определение. Производной функции по направлению

называется предел и обозначается символом .

Заметим, что если производная функции в точке по данному направлению положительна, то функция в этом направлении возрастает, если же <0, то функция в этом направлении убывает.

Можно сказать, что производная по направлению дает скорость изменения функции в этом направлении. Выведем формулу для вычисления производной по направлению. Прежде всего заметим, что .

Так как функция по условию дифференцируема, то + + + , а тогда

+ + + . Следовательно,

+ + , так как = =0, то + + .

В случае плоского скалярного поля производная по направлению имеет следующий вид: + .

Пример.

1)Найти производную функции в точке

по направлению, идущему от точки к точке .

Находим вектор и соответствующий ему единичный вектор . Таким образом , , .

Теперь найдем частные производные

, и их значения в точке :

.

Тогда .

2) Найти производную функции в точке ( 1, 1 ) в направлении биссектрисы первого координатного угла.

Единичный направляющий вектор биссектрисы первого координатного угла равен .

.

Тогда .

Градиент скалярного поля.

Определение.Градиентом в точке скалярного поля, заданного дифференцируемой функцией , называется вектор, равный

= + + .

Пример.

1)Найти градиент функции в точке .

Найдем , , .

+ + = .

2) Найти градиент функции ,в точке .

,

.

Теорема.Проекция вектора на единичный вектор равна производной по направлению : .

Пусть . Известно, что проекция какого-либо вектора на единичный вектор равна скалярному произведению этих векторов.

Поэтому + + = .

Обозначим через угол между единичным вектором и . Тогда = .

Если направления векторов и совпадают, то производная по направлению , имеет наибольшее значение, равное .

Таким образом, мы приходим к выводу: градиент есть вектор, указывающий направление наибольшего возрастания поля в данной точке и имеющей

модуль, равный скорости этого возрастания.

Пример.

Найти наибольшую скорость возрастания функции

в точке : .

В точке . Следовательно, наибольшая скорость возрастания функции равна .

Выясним взаимное расположение = в данной точке и поверхности уровня, проходящей через эту точку.

Пусть уравнение этой поверхности имеет вид .

Рассмотрим кривую , лежащую на этой поверхности и проходящую через точку .

Предположим, что эта кривая задана уравнениями

, где дифференцируемые функции, причем

.

Каждая точка кривой имеет координаты , которые должны удовлетворять уравнению поверхности уровня, поскольку кривая полностью лежит на этой поверхности. Таким образом, .

Дифференцируя обе части этого тождества по , получим

. В частности при имеем

.

Левая часть этого равенства является скалярным произведением и вектора , направленного по касательной к кривой . Таким образом, .

Предположим, что . Тогда из последнего равенства вытекает, что перпендикулярен вектору . Так как кривая была выбрана произвольно, то мы приходим к следующему выводу.

Все касательные, проведенные в точке к линиям, лежащим на поверхности уровня и проходящим через точку , расположены в одной плоскости, перпендикулярной вектору , при условии, что этот вектор не равен нулю.