Полный дифференциал функции нескольких переменных

Пусть дана функция двух переменных . Предположим, что ее аргументы получают соответственно приращения и . Тогда функция получает полное приращение , которое определяется следующей формулой:

Определение.Функция называется дифференцируемой в точке P , если ее полное приращение можно представить в следующем виде: где и - любые приращения соответствующих аргументов и в окрестности точки Р; А и В – постоянные; - бесконечно малая более высокого порядка, чем расстояние между точками ( и .

Определение.Главная часть приращения функции , линей относительно и , называется полным дифференциалом этой функции и обозначается символом или .

В выражении для дифференциала величины А и В не зависят от и , но являются функциями от и . Вид этих функций устанавливается следующей теоремой.

Теорема. Если функция в точке дифференцируема, то она имеет в точке первые частные производные и , причем

Т.е. .

Как и в случае функции одной переменной, введем обозначения: . Тогда выражение для дифференциала примет следующий вид:

Теорема.Если частные производные и функции непрерывны в окрестности точки , то эта функция в точке дифференцируема.

Пример.

Найти полный дифференциал функции в произвольной точке:

.

Пусть дана дифференцируемая функция . Ее полное приращение выражается формулой:

При малых и , слагаемым можно пренебречь и писать: . (1)

Так как , то Подставляя это выражение для в формулу (1), получим , откуда

. (2)

Формулой (2) можно пользоваться для приближенных вычислений значений функции двух переменных в точке близкой к точке , если известны значения функции и ее частных производных в самой точке .

Приложение полного дифференциала к приближенным вычислениям

Примеры

1. Вычислить приближенно с помощью полного дифференциала .

Рассмотрим функцию .

Применяя формула (2) к этой функции, получим

Положим теперь тогда

Следовательно,

2. Вычислить приближенно .