Раздел 2. Элементы векторной теории

Приложение векторной теории к решению задач

Координаты вектора:

Длина вектора:

Координаты C - середины отрезка AB: , ,

Направляющие конусы вектора :

.

Косинус угла между векторами и можно найти по формуле:

Для нахождения площади треугольника ABC используется геометрический смысл модуля векторного произведения векторов и , на которых построен треугольник ABC:

Для нахождения объема пирамиды ABCD, используется геометрический смысл смешанного произведения векторов , и , на которых построена пирамида:

Пример1: Даны точки: A(4; -3; 5), B(6; -2; 3;), C(1; 2; 8), D(4; -2; 1).

Найти: 1) координаты вектора , его длину и направляющие косинусы; 2) угол между векторами и ; 3) площадь треугольника ABC; 4) объем пирамиды ABCD. Сделать чертеж.

Решение: 1)Найдем координаты вектора по формуле

Длину вектора вычислим по формуле ,

где X, Y, Z – координаты вектора.

Имеем: .

Направляющие конусы вектора найдем по формулам:

. Получаем:

2) Косинус угла между векторами и можно найти по формуле:

Найдем координаты вектора и его длину:

.

Таким образом, .

Тогда .

3) Для нахождения площади треугольника ABC используем геометрический смысл модуля векторного произведения векторов и , на которых построен треугольник ABC:

Найдем координаты векторов , а затем векторное произведение векторов:

. Тогда

4) Найдем объем пирамиды ABCD, используя геометрический смысл смешанного произведения векторов , и , на которых построена пирамида:

.

Найдем смешанное произведение векторов:

;

Чертеж сделать самостоятельно.