Действие группы на множестве

Пусть G – произвольная конечная группа, Х – конечное множество из п элементов. Будем говорить, что G действует на X, если задан любой гомоморфизм G®S(X). Тем самым задано отображение декартова произведения G ´ Х в множество X. Если g®pÎS(X), то (g,x) ®p(х). Вместо (g,x) будем писать gx = p(х). При этом выполняются очевидные свойства

е(х) = х, х Î X; (gh)x = g(h(x)), g, h Î G.

Два элемента х, х'Î Х называются эквивалентными относительно группы G, действующей на X, если х' =gx. Легко проверяются свойства рефлексивности, транзитивности и симметричности. Соответствующие классы эквивалентности называются орбитами. Орбиту, содержащую элемент х₀, удобно обозначать символом G(х₀), т.е. G(х₀) ={gх₀|gÎG}. Например, S_n(l)={1, 2,..., п}.

Пусть х₀ – элемент из Х. Рассмотрим множество St(х₀) ={gÎG|gх₀=х₀}. Легко убедиться, что St(х₀)– подгруппа в G. Она называется стабилизатором элемента х₀. Для рассмотренного примера St(1)– множество всех подстановок, оставляющих элемент 1 на месте. Очевидно, St(1)@ S_n-1, т. е. это фактически симметрическая группа на множестве 2,3,…,п.

Теорема 1. Card G(x₀)= [G: St(x₀)].

Левые смежные классы находятся во взаимно однозначном соответствии с элементами орбиты G(x₀).

Из этой теоремы и теоремы Лагранжа следует, что длина любой орбиты ко­нечной группы является делителем порядка группы.

Группа перестановок G Ì S_n, действующая на множестве Х = {1, 2,..., п}, называется транзитивной, если орбита некоторой (а значит, и любой) точки совпадает со всем множеством X. Транзитивной будет вся группа S_n и, как нетрудно убедиться, знакопеременная группа А_п. Определим действие группы G на левых смежных классах по подгруппе Н по правилу g(g₁H) = (g₁g₂)H. В этом случае также имеем дело с транзитивностью. В самом деле, если g₁H и g₂H — два смежных класса, то g₂g₁^-1g₁H = g₂H.