Определения

Кольцом называется множество R с двумя бинарными операциями, обозна­чаемыми символами «+» и «•», такими, что:

1) R – абелева группа относительно операции «+»;

2) операция умножения ассоциативна, т.е. для всех a,b,c ÎR (ab)c = а(bс);

3) выполняются законы дистрибутивности, т.е. для всех a,b,c ÎR

а(b + с) = ab + ас и (b + с)а = bа + сa.

Условимся называть нейтральный элемент аддитивной группы кольца нулем и обозначать его символом 0. Противоположный к а элемент обозначают через -а. Вместо а + (–b) обычно пишут а–b. Легко доказываются свойства а0 = 0а = 0 для всех а Î R. Из этого следует, что (-а)b = а(-b) = -ab для всех a,b Î R. Простейшими примерами колец являются кольца целых чисел Z и многочленов R[x] с вещественными коэффициентами.

Кольцо называется кольцом с единицей, если оно имеет мультипликативную единицу, т.е. такой элемент е, что ае = еа = а для любого аÎR.

Кольцо называется коммутативным, если операция умножения коммутативна.

Два элемента кольца а ¹0, b¹0 называются делителями нуля, если ab = 0. Приведем пример делителей нуля. Рассмотрим кольцо классов вычетов Z_m по модулю т. Оно состоит из элементов 0, 1, 2,..., т –1. Операция сложения над этими элементами была определена ранее. Аналогично определяется умножение. Выполняем обычное умножение чисел и при необходимости берем остаток от деления на т. Если т – составное, т=ab, то делителями нуля будут а, b.

Кольцо называется областью целостности, если оно является коммутативным кольцом с единицей и без делителей нуля.

Коммутативное кольцо называется полем, если его ненулевые элементы образуют группу относительно операции умножения. Очевидно, всякое поле содержит не менее двух элементов. Отметим простейшие свойства полей.

Свойство 3.7.1. В поле нет делителей нуля.

Равенство ab = 0 при а ¹0 влечет a^-1ab = а^-10, а значит, b=0.

Свойство 3.7.2. В поле второй закон дистрибутивности вытекает из первого.

Теорема 3.7.1. Конечная область целостности является полем.

Теорема 3.7.2. Кольцо классов вычетов Z_m будет областью целостности, а значит, и полем лишь при простом т.

Поле Z_р называется полем Галуа порядка р и обозначается через F_р.