Производная по направлению. Градиент

Теорема. Пусть функция f (x, y) определена вместе со своими частными производными f'_x, f'_у, f''_xy, f''_yx в некоторой окрестности точки (x₀,y₀), причем производные f''_xy и f''_yx непрерывны в этой точке, тогда f''_xy (x₀,y₀) = f''_yx (x₀,y₀).

Согласно этой теореме смешанные производные можно вычислять в любом порядке и нет необходимости находить обе смешанные производные.

Пусть дана функция u = f (x, y, z), определенная в некоторой области пространства Oxyz.

Определение. Вектор с координатами , , называется градиентом функции u = f (x, y, z) в точке M(x, y, z) и обозначается grad u = + + .

Под производной функции u = f (x, y, z) в данном направлении понимается выражение = cosa + cosb + cosg, где cosa, cosb, cosg – направляющие косинусы вектора (рис. 43).

Рис. 43

Производная представляет собой скорость изменения функции в данном направлении.

Теорема. Производная функции по направлению равна проекции градиента этой функции на данное направление (в соответствующей точке).

Как известно, проекция вектора на другой вектор имеет максимальное значение, если оба вектора совпадают по направлению.

Градиент функции в данной точке указывает напрвление наиболее быстрого возрастания функции.

Величина градиента, т.е. | grad u | = обозначается tg j и определяет крутизну наибольшего ската или подъема поверхности u = f (x, y).

Пример 24. Найти производную функции z = x²+y²–xy+2x+3y в точке M(–9,–1) в направлении, идущем от этой точки к точке N(4,5).

Решение. Вычислим z'_x и z'_y.

z'_x = 2x–y+2, z'_y = 2y–x+3. Найдем значения этих производных в точке M.

z'_x|_M = –18+1+2=–15, z'_y|_M = –2+9+3=10.

Найдем вектор : = (4+9, 5+1)=(13,6). Так как этот вектор лежит в плоскости, то его направление определяется углом между этим вектором и осью Ox, а производная по направлению определяется по формуле = cosa + sina.

Вычислим cosa и sina: cosa = = ,

sina = .

Пример 25. Найти градиент функции u= в точке M(6,2,3).

Решение. Вычислим градиент функции по формуле

grad u = + + .

= ; = ; = .

Тогда grad u = + + .

Подставляя в это соотношение x = 6, y = 2, z = 3, получим grad u= + + .