Предел функции нескольких переменных. Непрерывность.

δ–окрестностью точки называется внутренность круга радиуса δ с центром в этой точке.

Иначе говоря, это множество всех точек , для которых выполняется неравенство , то есть расстояние . (рис.16).

Пусть функция z=f(x,y) определена в некоторой области G плоскости Oxy и точка .

Число A называется пределом функции при стремлении точки к точке , если для любого числа найдется такая – окрестность точки , что для любой точки P из этой окрестности, кроме, может быть, самой точки , имеет место неравенство .

Обозначают: или

Для функции трех переменных – окрестностью точки является множество всех внутренних точек шара радиуса с центром в точке , определение предела сохраняется.

Функция нескольких переменных называется бесконечно малой, если ее предел равен нулю.

Правила предельного перехода, установленные для функции одной переменной, остаются справедливыми.

Функция называется непрерывной в точке , если

1) функция определена как в самой точке , так и в некоторой ее окрестности;

2) существует предел ;

3) этот предел равен значению функции в предельной точке: .

Условия (2) и (3) можно заменить равносильным требованием: бесконечно малому расстоянию соответствует бесконечно малое приращение функции .

Справедлива теорема:

Если функции нескольких переменных и непрерывны в точке , то в той же точке непрерывны и их сумма , разность , произведение и частное (последнее–если ).

Точка называется точкой разрыва функции , если для нее не выполняется хотя бы одно из трех условий в определении непрерывности.

Точки разрыва данной функции могут располагаться как отдельно (изолированные точки разрыва), так и заполнять целые линии (линии разрыва).

Например, функция имеет единственную точку разрыва , а функция –множество точек разрыва, то есть линию разрыва x+y–1=0.

Областью (открытой областью) называется множество точек плоскости, обладающее свойствами:

каждая точка области принадлежит ей вместе с некоторой окрестностью (свойство открытости);

всякие две точки области можно соединить непрерывной линией, целиком лежащей в этой области (свойство связности).

Точка называется граничной точкой области G, если любая окрестность этой точки содержит как точки области G, так и точки, ей не принадлежащие.

Множество всех граничных точек области называется ее границей.

Если к открытой области присоединить ее границу, то полученное множество точек называется замкнутой областью.

Область называется ограниченной, если можно подобрать круг, полностью ее покрывающий. В противном случае область называетсянеограниченной.

Функция называется непрерывной в области G, если она непрерывна в каждой точке этой области.

Имеет место теорема:

Если функция непрерывна в ограниченной замкнутой области, то она в этой области

ограничена: ;

принимает наименьшее и наибольшее значения (соответственно m и M);

принимает хотя бы в одной точке области любое численное значение, заключенное между m и M.

39.частные производные и дефференциалы.
Полный дифференциал

Определение 10. Пусть функция у = f(X) определена в некоторой окрестности точки Х₀.
Если зафиксировать все переменные, кроме x_i, получим функцию одной переменной x_i:

Производная функции y(x_i) в точке x_i = x_i⁰ называется частной производной функции у = f(X) в точке Х₀ по переменной x_i.
Обозначение:

Определение 11. Линейные функции переменных dx_i называются частными дифференциалами функции у = f(X).
Обозначение: d_xiy

Определение 12. Функция у = f(X) называется дифференцируемой в точке Х₀, если существуют числа A₁, А₂,..., А_n такие, что полное приращение функции имеет вид:

При этом линейная часть приращения A₁ • x₁ + ... + А_n • x_n называется полным дифференциалом функции f(X) в точке Х₀.

Теорема 2. Если функция f(X) дифференцируема в точке Х₀, то ее полный дифференциал в этой точке имеет вид:

Замечание. При расчете частных производных необходимо помнить следующее.
1. Все правила вычисления производных и все табличные производные функций одной переменной сохраняют силу.
2. При частном дифференцировании функции z = f(x; у) по переменной х переменную у считаем фиксированной, т. е. константой. Поэтому, в частности, производная по х от любого выражения, зависящего только от у, равна 0. Например,

И вообще, (f(y))'_x = 0.
В произведении любой множитель, зависящий только от y, выполняет роль множителя-константы. Например,

И вообще, (f(y) • g(x))'x = f(y) • g'(x).
3. Аналогичным образом выполняется частное дифференцирование функции z = f(x; у) по переменной у.
Полный дифференциал