Объем тела вращения равен
Придадим x приращение Δx > 0 (x + Δx < b). Построим два цилиндра с общей высотой Δx (рис. 7.2.2). Меньший цилиндр имеет своим основанием круг площадью S (x), а больший – круг площадью S (x + Δx). Если ΔV – прирост объема тела вращения, то S (x)Δx < ΔV < S (x + Δx)Δx, откуда
Поскольку функция f (x) непрерывна, то непрерывна и функция
следовательно,
Переходя к пределу в двойном неравенстве, имеем
то есть V' (x) = S (x).
Объем V (x) является первообразной для функции S (x) на промежутке [a; b]. Отсюда имеем
