Промежутки выпуклости.7.точка перегиба.

График функции y=f(x) называется выпуклым вниз (или вверх) на промежутке (a; b), если на этом промежутке график функции располагается ниже (или выше, соответственно) касательных, проведенных в любой точке этого промежутка (a; b). За исключением самой точки касания.
А точки, в которых меняется направление выпуклости, называются точками перегиба. Если на промежутке (a; b) функция y=f(x) дважды дифференцируемая, то в случае f”(x)>0 график функции выпуклый вниз, а если f”(x)<0, то он выпуклый вверх.И, соответственно, точки, в которых знак второй производной меняется с плюса на минус, и будут точками перегиба.

Определение 1. Функция называется выпуклой вверх (вниз) в точке , если ее график в некоторой окрестности точки лежит ниже (выше) касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой, равной .

Определение 2. Если в любой точке множества , функция выпукла вверх (вниз), то такую функцию называют выпуклой вверх (вниз) на промежутке .

Определение 3. Второй производной функции называется функция, являющаяся производной от производной функции .

Теорема. Если функция имеет положительную (отрицательную) вторую производную в каждой точке промежутка , то выпукла вниз (вверх) на этом промежутке.

Точка перегиба функции внутренняя точка области определения , такая что непрерывна в этой точке, существует конечная или определенного знака бесконечная производная в этой точке, и является одновременно концом интервала строгой выпуклости вверх и началом интервала строгой выпуклости вниз, или наоборот.