Закон распределения

Пусть с некоторым экспериментом связано пространство элементарных событий .

О: Случайной величиной (СВ) называется функция .

Рассмотрим СВ двух видов: дискретные и непрерывные. Область возможных значений дискретной СВ состоит из конечного или счётного числа точек, а область возможных значений непрерывной СВ является некоторым интервалом.

Примеры. 1) Дискретная СВ - число очков, выпавших при однократном бросании кости: .

2) Дискретная СВ – индикатор события :

3) Непрерывная СВ – отклонение от номинала некоторого размера детали при правильно налаженном технологическом процессе.

О: Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими этим значениям вероятностями.

Для дискретной СВ закон распределения может быть задан в виде ряда распределения или в виде функции распределения, для непрерывной СВ ‑ в виде функции распределения и плотности распределения.

Обозначим вероятность того, что примет значение .

О: Рядом распределения дискретной СВ называется закон распределения, заданный в виде таблицы значений и вероятностей ;

: .

Графическое изображение, представленное на рис. 14.1, называется многоугольником распределения.

Рис. 14.1.

Пример. Бросается игральная кость, , , .

Ряд распределения

О: Функцией распределения вероятностей СВ называется , , т.е. значение функции в т. равно вероятности того, что СВ .

Если для дискретной СВ построен ряд распределения, то функция распределения имеет вид:

её график – ступенчатая функция (рис.14.2).

Пример. Бросается игральная кость

.

Функция распределения обладает следующими свойствами:

1⁰. - неубывающая функция;

2⁰. .

График непрерывной СВ имеет вид кривой, изображённой на рис. 14.3.

Рис. 14.3.

Пусть для непрерывной СВ её функция распределения имеет непрерывную производную .

О: Плотностью распределения вероятностей (плотностью распределения) для функции распределения непрерывной СВ называется функция такая, что .

Так как неубывающая функция, то .

На основании формулы Ньютона-Лейбница:

. (14.1)

Используя определение несобственного интеграла с бесконечными пределами интегрирования, функцию можно записать через плотность распределения :

.

Формула справедлива и в случае конечного числа точек разрыва 1 рода функции . Из достоверности события имеем

.