Сложение и умножение вероятностей

Т: Если и - несовместные события

, (13.3)

в противном случае

. (13.4)

Формула (13.4) справедлива и для вероятности суммы несовместных событий.

Следствие. Вероятность противоположного событию события равна . Из (13.3) .

Примеры.

1. В урне 2 зелёных, 4 жёлтых, 7 красных, 10 белых шаров. Вынимают один шар. Найти вероятность того, что он не белый.

Решение. Пространство содержит 23 элементарных события. Случайное событие, состоящее в выборе цветного шара . Здесь - событие, состоящее в выборе зелёного шара, - жёлтого, - красного. Так как , , , по формуле (13.3) имеем

.

2. Вероятность того, что день пасмурный . Найти вероятность того, что день ясный.

Решение. Событие , состоящее в том, что день ясный, противоположное событию (день пасмурный), т.е. .

О: Вероятность события в предположении, что произошло событие , называется условной вероятностью и обозначается . События и называются независимыми, если предположение о том, что произошло одно из них, не влияет на вероятность другого, т.е.

, . (13.5)

Т: Вероятность совместного наступления событий и вычисляется по формуле

(13.6)

Если события и независимы, то

. (13.7)

Эта формула справедлива и для вероятности произведения независимых событий.

Примеры.

1). Из урны, содержащей 3 белых и 7 чёрных шаров, вынимают два. Какова вероятность того, что оба шара белые?

Решение. Событие - вынут белый шар, . Событие - вынут второй белый шар при условии, что произошло , , тогда вероятность того, что оба шара белые .

2. Рабочий обслуживает три станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение часа станок не потребует внимания рабочего для первого станка , для второго , для третьего . Найти вероятность того, что в течение часа ни один станок не потребует внимания рабочего.

Решение. По формуле (10.7) имеем .

Т: пусть случайные события , образуют полную группу событий. Тогда для любого случайного события справедлива формула

. (13.8)

Эту формулу называют формулой полной вероятности.

Пример. Имеется два ящика с шарами. В первом ящике два белых и один чёрный шар, во втором ящике один белый и четыре чёрных шара. Наугад выбираем ящик и вынимаем шар. Какова вероятность того, что он белый?

Решение. Пространство , где - выбор первого ящика, - второго, событие - выбор шара, тогда , , и по формуле (13.8) .

Из формулы и (13.8) получается так называемая формула Байеса

, . (13.9)

Формула трактуется следующим образом: имеется полная группа гипотез , …, , вероятности которых известны до опыта. Проводится опыт, в результате которого может наступить или не наступить событие . Если событие наступило, то (13.9) определяет вероятности гипотез после опыта.