Для решения этой задачи используем схему.

1^о. Найти производную

2^о. Найти критические точки функции, принадлежащие отрезку в которых или не существует.

3^о. Найти значения функции в критических точках и на концах отрезка и выбрать из них наибольшее и наименьшее

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Решение. Вычислим производную и найдем критические точки. Производная Чтобы найти критические точки приравняем производную нулю:

Находим дискриминант

Следовательно,

или 4. Вторая критическая точка не принадлежит отрезку Поэтому мы ее отбрасываем. Строим таблицу значений функции. При этом рассматриваем значения аргумента

Наибольшее значение функции на отрезке при ; и наименьшее значение m= при

Пример. Расходы на топливо для топки парохода пропорциональны кубу его скорости. Известно, что при скорости в 10 км/час расходы на топливо составляют 300 руб. в час, остальные же расходы (не зависящие от скорости) составляют 4800 руб. в час. При какой скорости парохода общая сумма расходов на 1 км пути будет наименьшей? Какова при этом общая сумма расходов в час?

Решение. Пусть - расходы на один км пути. Сначала найдем как величина зависит от , затем исследуем функцию на экстремум. Пусть - расходы на топливо в час. По условию где - неизвестный коэффициент. Чтобы найти подставим вместо значение 10, а вместо - значение 300. Тогда и Общие расходы за один час составляют а на один километр пути составляют

Исследуем эту функцию на экстремум. В условии задачи нет указаний, какую скорость может развивать пароход. Поэтому будем считать, что Найдем производную: Приравниваем производную нулю Исследуем знаки производной. Для этого вычислим производную в точке между нулем и двадцатью и в точке, где больше двадцати: Построим схематический рисунок

Ответ: наименьшее значение стоимости 1км пути получается при скорости 20км/час