Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Пример. Решить систему

Решение. Запишем коэффициенты системы и правые части уравнений в матрицу, которая называется расширенной матрицей системы:

.

Матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных, называется основной матрицей системы.

При решении системы можно прибавлять к строке расширенной матрицы другую строку, умноженную на какое-нибудь число. Мы стремимся получить нули во всех точках ниже диагонали основной матрицы.

.

Для этого ко второй строке прибавим первую, умноженную на (-3), а к третьей – первую умноженную на (-2).

Нам осталось получить один ноль в третьей строке и втором столбце. Для этого прибавим к третьей строке вторую, умноженную на (-1).

.

Этой матрице соответствует система

Из последнего уравнения Подставляем это значение во второе уравнение: Подставляем эти значения в первое уравнение

Ответ:

Пример 2. Решить систему

Записываем матрицы системы и преобразуем их

Число неизвестных больше, чем число уравнений, значит можно ожидать, что решений будет бесконечное множество или их вообще не будет. Сравним ранги основной и расширенной матриц. Любой минор третьего порядка содержит нулевую строку и поэтому равен нулю. С другой стороны существуют миноры второго порядка неравные нулю. Например, .

Этот минор принадлежит обеим матрицам, поэтому ранги обоих матриц равны 2. По теореме Кронекера-Капелли система, в которой ранги основной и расширенной матриц совпадают должна иметь решения. Так как число неизвестных на единицу больше чем ранги обеих матриц, то система имеет бесконечное множество решений и одно из неизвестных можно положить свободным, а другие выразить через него. Например, пусть z - свободная переменная. Выразим y из второго уравнения:

Подставим эти значения в первое уравнение: .

Ответ: Система имеет множество решений. При любом значении z тройка чисел является решением системы.