Обчислення поверхневих інтегралів другого роду

Обчислення і умови існування поверхневого інтеграла другого роду випливають із зведення поверхневого інтеграла до подвійного. Нехай орієнтовна поверхня W задана рівнянням z = f(x,y), (х, у) Î D_xy , а R(х, y, z) – неперервна функція на поверхні W. Інтегральну суму (7.1) запишемо у вигляді:

= (7.4)

де Ds_i – береться із знаком ”плюс“ (”мінус“), коли нормаль до поверхні W утворює гострий (тупий) кут з віссю OZ. Оскільки R(х, y, z(х, у)) неперервна в D_xy , то вона інтегрована. Перейшовши в (7.4) до границі при l 0, маємо:

= , (7.5)

де знак «плюс» («мінус») береться, коли нормаль до поверхні W утворює гострий (тупий) кут з віссю OZ. Аналогічно, якщо гладка поверхня задана функцією х = х(у, z), де (у, z) ÎD_yz, або рівнянням y = y(x, z), де (x, z) Î D_xz , то для обчислення поверхневого інтеграла другого роду користуються відповідними формулами:

= , (7.6)

= . (7.7)

Знак «плюс» беремо у цих формулах тоді, коли нормаль до поверхні W утворює відповідно з віссю ОХ, з віссю ОУ гострі кути, а знак «мінус» - коли кути тупі; D_yz, D_xz – проекції поверхні W на площини YОZ та XОZ відповідно.

Для обчислення інтеграла використовують формули (7.5) – (7.7), якщо повехня W однозначно проектується на всі три площини. У більш складних випадках поверхня W розбивається на частини, а сам інтеграл – на суму інтегралів по цих частинах.

Якщо поверхня W замкнена, то розрізняють її зовнішню та внутрішню сторони поверхні. Зовнішню сторону поверхні W називають додатною стороною, а внутрішню – від’ємною.

Приклад. Обчислити: по верхній стороні площини , яка лежить у I октанті (Рис. 34).

Рис. 34

Розв’язання. Знайдемо кути між нормаллю , яка відповідає вказаній стороні поверхні, та осями координат:

, > 0, > 0, > 0.

Як бачимо, косинуси додатні – отже кути гострі, тому перед подвійними інтегралами беремо знак «+». З рівняння заданої поверхні знайдемо х:

.

Знайдемо проекції області W на площини ХОУ , XОZ та YОZ (Рис. 35).

Рис. 35

Отже, = + =

= + = +

= + = .