Формули Остроградського-Гаусса і Стокса

Формула Остроградського-Гаусса пов’язує потрійний інтеграл за просторовою областю R з поверхневим інтегралом за замкненою поверхнею W, яка обмежує цю область.

Означення. Замкнена просторова область R, границя якої перетинається з довільною прямою, паралельною осям координат, не більш як у двох точках, називається правильною.

Теорема. Нехай правильна замкнена область R обмежена гладкою або кусково-гладкою поверхнею W, а функції P(x,y), Q(x,y), R(x,y) – неперервні разом із своїми частинними похідними першого порядку в даній області. Тоді справедлива така формула:

= , (7.8)

(інтегрування проводиться за її зовнішньою стороною), яка називається формулою Остроградського-Гауса.

Вона також справедлива для довільної замкненої просторової області R , яку можна розбити на скінченне число правильних областей.

Формула Стокса встановлює зв’язок між поверхневим інтегралом та криволінійним інтегралом по контуру, що обмежує цю поверхню.

Припустимо, що поверхня W, яка обмежена контуром L,задана рівнянням z = z(x, y). Функції z = z^/_x(x, y), z = z^/_y(x, y) неперервні в замкненій області D проекції W на площину XOY , а l проекція контура L на ту саму площину, є контуром, що обмежує область D . Виберемо для орієнтації верхню сторону поверхні W (Рис. 36).

Рис. 36

Теорема. Якщо функції P(x,y), Q(x,y), R(x,y) - неперервні разом із своїми частинними похідними першого порядку на поверхні W , справедлива така формула:

= ,

(7.9)

яка називаєтьсяформулою Стокса, де cosa, cosb, cosg – напрямні косинуси нормалі до поверхні W , а контур L пробігається в додатному напрямі (проти годинникової стрілки, якщо дивитись з кінця вибраної додатньої нормалі).

Якщо поверхня W – це область площини XOY , яка обмежена контуром L, то інтеграли по dxdz і по dydz перетворюються в нуль і формула Стокса переходить у формула Гріна.

Формули Гріна, Стокса та Остроградського-Гаусса об’єднані однією ідеєю: вони виражають інтеграл, поширений на деякий геометричний образ, через інтеграл, взятий за границею образу. При цьому формула Гріна відноситься до випадку двовимірного простору, формула Стокса – теж до випадку двомірного, але «скривленого» простору, а формула Остроградського-Гаусса – до випадку тривимірного простору.