Його фізичний зміст

Поверхняназивається «двосторонньою», якщо нормаль до поверхні при переміщенні по довільному замкнутому контуру L, який лежить на поверхніповертається у попереднє положення. Сторона поверхні задається вибором направлення нормалі до поверхні, в цьому випадку поверхня називається орієнтовною. Поверхневі інтеграли другого роду розглядаються тільки по орієнтовних поверхнях. Прикладами двосторонніх поверхонь є площина, сфера, тор, довільна поверхня, задана рівнянням z = f(x,y), де f(x,y), f^/_x(x,y), f^//_y(x,y) - функції, неперервні в деякій області D площини XOY .

Якщо орієнтовна поверхня обмежена контуром L , який не має точок самоперетину, то за додатний напрям обходу контура L приймають той, при русі по якому сама поверхня залишається зліва по відношенню до точки, яка здійснює обхід (Рис. 31). Протилежний напрям будемо рахувати від’ємним. Якщо змінити орієнтацію поверхні, то додатний і від’ємний напрями обходу контура L поміняються знаками.

Рис. 31

Якщо на поверхні знайдеться замкнений контур, при неперервному переміщенні вздовж якого вектор нормалі, повертаючись у вихідну точку, змінює свій початковий напрям на протилежний, то таку поверхню називають односторонньою. Класичним прикладом односторонньої поверхні є лист Мебіуса (Рис. 32). Вийшовши з якої-небудь точки листа Мебіуса з визначеним напрямом нормалі , можна неперервним рухом, ніде не перетинаючи межу листа, прийти в ту ж точку з протилежним напрямом нормалі.

Рис. 32

Нехай в точках деякої гладкої поверхні W, заданої рівнянням z = f(x,y), визначена неперервна функція R(х, y, z) (Рис. 33) . Виберемо одну із сторін поверхні W, тобто виберемо один із двох можливих напрямків векторів нормалі в точках поверхні. Якщо вектори нормалей складають гострі кути з віссю OZ , то вибрана верхня сторона поверхні z = f(x,y) , якщо кути – тупі, то вибрана нижня сторона поверхні. Розіб’ємо її довільним чином на n частин.

Позначимо через D_i проекцію i-тої частини поверхні W на площину ХОУ , а через Ds_i – площу D_i , взяту із знаком « + », якщо обрана верхня сторона поверхні W, і із знаком « – », якщо обрана нижня сторона поверхні W. Нормаль проведена до верхньої сторони поверхні W.

Рис. 33

Виберемо в кожній частині s_i довільну точку М_і (x_і, h_і, z_і) і складемо суму:

, (7.1)

яка називається інтегральною сумою для функції R(х, y, z) по орієнтовній поверхні s .

Означення. Якщо інтегральна сума (7.1) при l ® 0 має скінченну границю, яка не залежить нівід способу розбиття поверхні W, ні від вибору точок , то цю границю називають поверхневим інтегралом другого роду від функції R(х, y, z) по вибраній стороні орієнтовної поверхні W і позначають так:

,

де dxdy є площою проекції елемента поверхні W на площину XOY. Функція R(х, y, z) називається інтегровною за поверхнею W за змінними х і у . У символі позначення поверхневого інтегралу ІІ роду не міститься вказівки на те, яка сторона поверхні мається на увазі, тому цю вказівку необхідно робити кожен раз окремо.

Із самого означення випливає, що при заміні розглядуваної сторони поверхні протилежною стороною інтеграл змінює знак.

Таким чином, за означенням:

= . (7.2)

Аналогічно визначаються поверхневі інтеграли за координатами y, z та x, z, тобто , .

Так як мають місце рівності , , , де ds – елемент площі поверхні W; a, b і g – кути між нормаллю до поверхні W у довільній точці та осями ОХ, ОУ, OZ. Відповідно поверхневий інтеграл другого роду можна звести до поверхневого інтегралу першого роду:

+ + =

= . (7.3)

Ліву частину формули цієї формули називають загальним поверхневим інтегралом другого роду. Поняття поверхневого інтегралу існує тільки для двосторонніх поверхонь.

Геометричне застосування подвіного інтегралу: за допомогою поверхневого інтегралі ІІ роду можна знайти об’єм тіла, яке обмежене зверху поверхнею S₂ (z = z₂(x,y)), знизу поверхнею S₁ (z = z₁(x,y)), збоку – циліндричною поверхнею S₃, твірні якої паралельні осі OZ:

,

де S = S₁ + S₂ + S₃.

Фізичний зміст: нехай є швідкістю рідини або газу, що протікає через поверхнюW.

= + + .

Тоді кількість рідини або газу, що протікає через поверхню W знаходиться за формулою:

П = = ,

де = – одиничний нормальний вектор.