Розглянемо на площині ХОУ деяку гладку криву L (крива, яка задана рівняннями x = j (t), y = y (t), a £ t £b, називається гладкою, якщо функції x = j (t) та y = y (t) неперервні і мають неперервні похідні j /(t) та y /(t), які не перетворюються у нуль одночасно). Нехай функція z = f (x, y) визначена і обмежена на кривій L (Рис. 23). Розіб’ємо криву L довільно на n частин точками А = А0, А1, … А і–1, Аі, …, Аn = В. Виберемо на кожній з часткових дуг Аі–1Аі довільну точку , і = 1, 2, …, n і складемо суму:
, (4.1)
де – довжина дуги А і–1Аі . Ця сума називається інтегральною сумою для функції z = f (x, y) по кривій L. Позначимо через l найбільшу з довжин часткових дуг А і–1Аі (l = ).
Рис. 23
Означення. Якщо інтегральна сума (4.1) при l 0 має границю, то ця границя називається криволінійним інтегралом першого роду від функції z = f (x, y) по кривій L і позначається:
= (4.2)
В цьому випадку говорять, що функція z = f (x, y) інтегрується вздовж кривої L, сама крива є контуром інтегрування, А – початковою точкою, а В – кінцевою точкою інтегрування.
Необхідно відмітити, що цей інтеграл має таку властивість, що він не залежить від напрямку інтегрування:
= .
Геометричний зміст: криволінійний інтеграл при f(x, y) ³ 0 чисельно дорівнює площі частини циліндричної поверхні, твірні якої мають довжину f(x, y) і паралельні осі OZ, а напрямна збігається з кривою АВ на площині ХОУ (Рис. 24).
.
Рис. 24
Якщо покласти f(x, y) º 1, то отримаємо криволінійний інтеграл , значення якого дорівнює довжині дуги АВ.
Механічний зміст: якщо крива АВ – матеріальна, тобто вздовж кривої розподілено з лінійною густиною g(x, y) деяку масу m, то маса цієї кривої:
.