Геометричний та механічний зміст

Розглянемо на площині ХОУ деяку гладку криву L (крива, яка задана рівняннями x = j (t), y = y (t), a £ t £b, називається гладкою, якщо функції x = j (t) та y = y (t) неперервні і мають неперервні похідні j ^/(t) та y ^/(t), які не перетворюються у нуль одночасно). Нехай функція z = f (x, y) визначена і обмежена на кривій L (Рис. 23). Розіб’ємо криву L довільно на n частин точками А = А₀, А₁, … А _і–1, А_і, …, А_n = В. Виберемо на кожній з часткових дуг А_і–1А_і довільну точку , і = 1, 2, …, n і складемо суму:

, (4.1)

де – довжина дуги А _і–1А_і . Ця сума називається інтегральною сумою для функції z = f (x, y) по кривій L. Позначимо через l найбільшу з довжин часткових дуг А _і–1А_і (l = ).

Рис. 23

Означення. Якщо інтегральна сума (4.1) при l 0 має границю, то ця границя називається криволінійним інтегралом першого роду від функції z = f (x, y) по кривій L і позначається:

= (4.2)

В цьому випадку говорять, що функція z = f (x, y) інтегрується вздовж кривої L, сама крива є контуром інтегрування, А – початковою точкою, а В – кінцевою точкою інтегрування.

Необхідно відмітити, що цей інтеграл має таку властивість, що він не залежить від напрямку інтегрування:

= .

Геометричний зміст: криволінійний інтеграл при f(x, y) ³ 0 чисельно дорівнює площі частини циліндричної поверхні, твірні якої мають довжину f(x, y) і паралельні осі OZ, а напрямна збігається з кривою АВ на площині ХОУ (Рис. 24).

.

Рис. 24

Якщо покласти f(x, y) º 1, то отримаємо криволінійний інтеграл , значення якого дорівнює довжині дуги АВ.

Механічний зміст: якщо крива АВ – матеріальна, тобто вздовж кривої розподілено з лінійною густиною g(x, y) деяку масу m, то маса цієї кривої:

.