Обчислення криволінійного інтеграла першого роду

Обчислення криволінійного інтеграла зводиться до обчислення звичайного визначеного інтеграла, якщо скористатися виведеними в диференціальному численні формулами для диференціала довжини дуги dL.

Розглянемо плоску криву L, за якою потрібно обчислити інтеграл . Нехай лінія L задана рівнянням і (підкреслимо, що в криволінійному інтегралі та функція, яку ми інтегруємо, не має нічого загального з рівнянням кривої, по якій ведеться інтегрування).

Згадаємо формулу:

і підставимо вираз для dl у наш інтеграл. Одночасно, скористаємося рівнянням для заміни змінної у під знаком функції , причому для точок кривої L величина у не довільна. Нарешті, помітимо, що х змінюється в межах від а до b, тоді:

(4.3)

Приклад. Визначити криволінійний інтеграл , де АВ – відрізок прямої між двома точками А (0, 1) та В (2, 4).

Розв’язання. Складемо рівняння прямої, використовуючи рівняння за двома точками:

=

=

3х = 2у – 2

у = 1,5х + 1.

Похідна: y^/ = 1.5.

Диференціал дуги: dl = = 1,8dx.

Інтеграл: = = 12,6.

Якщо крива L задана параметричними рівняннями в площині ХОУ:

, ,

то, згадуючи, що в цьому випадку:

,

отримаємо рівність:

. (4.4)

У правій частині стоїть звичайний визначений інтеграл від деякої функції змінної t. Точно так само, коли крива L просторова й задана рівняннями:

, ,

вираз для dL має вигляд:

,

і тому:

. (4.5)

У випадку, коли плоска крива L задана полярним рівнянням і , то, згадуючи що:

і ,

отримоємо:

. (4.6)

Зведення криволінійного інтегралу до звичайного визначеного інтегралу дуже близько до заміни змінної в визначеному інтегралі. Але варто відмітити, що після заміни змінної в визначеному інтегралі може трапитися, що нижня межа інтегрування виявляється більше верхньої. При обчисленні криволінійного інтеграла завжди нижня межа повинна бути менше верхньої.

Приклад. Визначити криволінійний інтеграл , де АВ – відрізок кривої у = е^х між двома точками А (0, 1) та В (1, е).

Розв’язання. Похідна: = е^х.

Диференціал дуги: dl =

Інтеграл: = = = = .