Обчислення криволінійного інтеграла зводиться до обчислення звичайного визначеного інтеграла, якщо скористатися виведеними в диференціальному численні формулами для диференціала довжини дуги dL.
Розглянемо плоску криву L, за якою потрібно обчислити інтеграл . Нехай лінія L задана рівнянням і (підкреслимо, що в криволінійному інтегралі та функція, яку ми інтегруємо, не має нічого загального з рівнянням кривої, по якій ведеться інтегрування).
Згадаємо формулу:
і підставимо вираз для dl у наш інтеграл. Одночасно, скористаємося рівнянням для заміни змінної у під знаком функції , причому для точок кривої L величина у не довільна. Нарешті, помітимо, що х змінюється в межах від а до b, тоді:
(4.3)
Приклад. Визначити криволінійний інтеграл , де АВ – відрізок прямої між двома точками А (0, 1) та В (2, 4).
Розв’язання. Складемо рівняння прямої, використовуючи рівняння за двома точками:
=
=
3х = 2у – 2
у = 1,5х + 1.
Похідна: y/ = 1.5.
Диференціал дуги: dl = = 1,8dx.
Інтеграл: = = 12,6.
Якщо крива L задана параметричними рівняннями в площині ХОУ:
, ,
то, згадуючи, що в цьому випадку:
,
отримаємо рівність:
. (4.4)
У правій частині стоїть звичайний визначений інтеграл від деякої функції змінної t. Точно так само, коли крива L просторова й задана рівняннями:
, ,
вираз для dL має вигляд:
,
і тому:
. (4.5)
У випадку, коли плоска крива L задана полярним рівнянням і , то, згадуючи що:
і ,
отримоємо:
. (4.6)
Зведення криволінійного інтегралу до звичайного визначеного інтегралу дуже близько до заміни змінної в визначеному інтегралі. Але варто відмітити, що після заміни змінної в визначеному інтегралі може трапитися, що нижня межа інтегрування виявляється більше верхньої. При обчисленні криволінійного інтеграла завжди нижня межа повинна бути менше верхньої.
Приклад. Визначити криволінійний інтеграл , де АВ – відрізок кривої у = ех між двома точками А (0, 1) та В (1, е).