Подвійний інтеграл у полярних координатах

Нехай область D задамо системою нерівностей у полярних координатах: . Область D називається правильною областю в полярній системі координат, якщо кожний промінь, який виходить з полюса, перетинає границю області не більш ніж у двох точках. Сумістимо полярну систему координат з декартовою так, щоб полюс полярної системи збігався з початком координат, а полярною віссю служитиме вісь ОХ (Рис.12, а). За означенням подвійного інтеграла маємо:

.

Так як значення подвійного інтеграла не залежить від способу розбиття області D на елементарні частини, то зробимо це розбиття координатними лініями полярної системи координат: променями, які виходять з полюса та концентричними колами з центрами в полюсі. Розглянемо площадку Ds_і, обмежену двома променями, вихідними з полюса, кутом між ними є кут D φ_i і двома колами радіусів r _i і r _i + Dr _i (Рис.12, б). Тоді елементарна площа Ds_і обчислюється як різниця площ двох кругових секторів (площа криволінійного сектора обчислюється за формулою ):

а б

Рис. 12

Позначимо через середній радіус між r_i і r _i + Dr _і, тобто . Тоді:

У кожній малій площадці Ds _i вибираємо по точці Р_i(x_i,y_i), при цьому точку Р_i візьмемо на колі радіуса r_i.. Позначимо через φ_i полярний кут точки Р_i. Беручи до уваги, що декартові координати x_i, y_i точки Р_i та її полярні координати r_i. і φ_i зв'язані відомими співвідношеннями:

, отримаємо:

.

Варто помітити, що при складанні інтегральної суми площадок Ds _i , що прилягають до границі області s, можуть виявитися зрізаними й мати площу, меншу чим Але можна довести, що помилка від такої заміни в межах зведеться до нуля.

У правій частині останньої рівності стоїть границя інтегральної суми для функції f(rcosj, rsinj)r по змінним r і j, тому:

.

Ми підійшли до наступної формули:

. (2.9)

Вираз називається елементом площі в полярних координатах. З точністю до нескінченно малих більш високого порядку малості ніж , він дає площу криволінійного чотирикутника, зображеного на Рис. 12, б так як

Формула (2.9) називається формулою перетворення подвійного інтегралу до полярних координат. Отже, для того, щоб перетворити подвійний інтеграл до полярних координат, потрібно змінні х и у у підінтегральній функції f(x, y) замінити відповідно через rcosj, rsinj, а елемент площі ds замінити його виразом у полярних координатах .

Для обчислення подвійного інтеграла застосовують також правило зведення його до повторного інтегралу, але тільки тут роль змінних грають r і φ.

Розглянемо область D, яка обмежена двома променями, що виходять із полюса під кутами a і b (a < b), і двома кривими, рівняння яких у полярних координатах такі r = r₁ (φ) і r = r₂ (φ) (Рис. 13). Проведемо з полюса промінь під кутом φ (a < φ < b). Цей промінь зустрічає криві r = r₁ (φ) і r = r₂ (φ) відповідно в точках С₁ (точка входу) і С₂ (точка виходу).

Рис. 13

Для цієї області інтегрування формула обчислення подвійного інтеграла має вигляд:

. (2.10)

Внутрішній інтеграл обчислюється при постійному j. Результатом цього інтегрування буде деяка функція від змінної j, яку потім потрібно інтегрувати на границях від a до b. Межами зовнішнього інтегрування є значення a і b, між якими змінюється полярний кут, коли точка пробігає область D.

Приклад. Обчислити , якщо область визначення обмежена лініями: , , х ³ 0, у ³ 0.

Розв’язання. Задані рівняння є колами з радіусами та , а умова х ³ 0, у ³ 0 показує, що область лежить у першій чверті координатної площини, тобто кут j змінюється від 0 до .

=