Зауваження

1. Якщо область інтегрування Dобмежена двома кривими х = х₁(у) і х = х₂(у) і двома горизонтальними прямими у = с, у = d (с < d), причому для всіх у між с и d х₁(у) ≤ х₂(у), то аналогічно можна довести, що має місце рівність:

. (2.8)

2. Якщо область D проста в обох напрямках, то подвійний інтеграл можна обчислювати за формулою (2.7) або (2.8). Результати матимемо однакові.

3. Варто звернути увагу на те, що у формулах (2.7) і (2.8) границі зовнішнього інтеграла скрізь постійні.

4. Формули (2.7) і (2.8) виведені в припущенні, що область D має спеціальний вигляд. Якщо контур області D більш складний, то спочатку область D розбивають на кінцеве число частин, що задовольняють умовам, при яких була виведена формула (2.7) або (2.8). Потім обчислюють інтеграл за формулами (2.7) або (2.8) для кожної з таких областей. Інтеграл всієї області, за властивістю адитивності, дорівнює сумі інтегралів по кожній із цих частин:

.

5. Повторні інтеграли в правих частинах формул (2.7) і (2.8) називаються інтегралами з різним порядком інтегрування. Щоб змінити порядок інтегрування потрібно від формули (2.7) перейти до формули (2.8), або навпаки.

6. При обчисленні повторних інтегралів множники, що не залежать від змінної інтегрування, можна виносити за знак відповідного інтеграла по цій змінній.

7. Якщо областю інтегрування D є прямокутник, обмежений прямими х = а, х = b (а < b) і у = с, у = d (с < d), то формули (2.7), (2.8) для цього випадку приймуть видгляд (Рис. 8):

, або

.

Рис. 8

Приклад. Обчислити подвійний інтеграл , якщо областю інтегрування є область, обмежена лініями: у = х, х = 4, у = (Рис. 9).

Розв’язання. Якщо при обчисленні подвійного інтегралу користуватися формулою (2.6), то тут у_вх = у₁(х) = , у_вих = у₂(х) = х, а = 0, b = 4, тому, застосовуючи формулу (2.7), маємо: .

Рис.9

Обчислимо внутрішній інтеграл, у якому вважаємо х постійним:

отже, .