Обчислення подвійного інтеграла

Означення подвійного інтеграла одночасно дає і спосіб його обчислення. Однак цей спосіб досить складний, тому розглянемо інший, який зводиться до обчислення так званого повторного інтеграла двох визначених інтегралів. Якщо f(x, y) > 0 для (x, y) Î D, то подвійний інтеграл виражає об’єм циліндричного тіла з основою D, обмеженого поверхнею z = f(x,y). Обчислимо цей об’єм за допомогою методу паралельних перерізів (Рис. 6):

, (2.5)

де S(x) – площа перерізу тіла площиною, перпендикулярною до осі ОХ , а абсциса х належить інтервалу а ≤ х ≤ b.

Проведемо через точку (х, 0, 0) площину перпендикулярну осі ОХ ми отримаємо в перетині криволінійну трапецію С₁М₁М₂С₂ (Рис.6). Апліката z = f(x, y) точок лінії М₁М₂ при сталому х є функцією тільки від у, причому у змінюється в границях від у_вх = у₁(х) до у_вих = у₂(х). Площа S(x) трапеції С₁М₁М₂С₂ дорівнює визначеному інтегралу:

. (2.6)

Рис. 6

Підставляючи у формулу (2.5) вираз для S(x) з (2.6) отримаємо:

.

Так як, з іншого боку, об'єм V циліндричного тіла дорівнює подвійному інтегралу , то маємо:

або:

. (2.7)

Праву частину формули (2.7) називають повторним або двократним інтегралом від функції f(x, y) по області D. У повторному інтегралі інтегрування виконується спочатку по змінній у (при цьому х вважається сталою), а потім по змінній х. Інтеграл по змінній у називають внутрішнім, а по змінній х – зовнішнім. В результаті обчислення внутрішнього інтеграла одержуємо певну функцію від однієї змінної х. Інтегруючи цю функцію в межах від а до b , тобто обчислюючи зовнішній інтеграл, дістаємо деяке число – значення подвійного інтеграла.

Знайдемо чому дорівнює вираз для елемента площі Ds. Розіб'ємо область D на частини прямими, які паралельні координатним осям (x º const, y ºconst) (Рис.7, а). Площа нескінченно малого елемента Ds, обмеженого двома парами нескінченно близьких паралельних прямих є Ds = dxdy, тому подвійний інтеграл записують ще так:

.

Для подальших викладок припустимо, що область D має таку структуру: вона обмежена графіками функцій у = у₁(х) і у = у₂(х), причому у₁(х) ≤ у₂(х), прямими х = а та х = b.

Нехай область D є простою у напрямку осі у, тобто кожної пряма паралельна осі ОУ перетинає границю області у двох точках. Нижню із цих точок будемо називати точкою входу, а верхню – точкою виходу (Рис. 7, б).

Якби область D була б улаштована інакше, ми намагалися б її розбити на частини, як зазначено вище, і скористалися б властивістю адитивності інтеграла.

а б

Рис. 7

На Рис. 7, б С₁ – точка входу й С₂ – точка виходу, їхні ординати позначимо відповідно у_вх і у_вих. Ордината точки входу у_вх = у₁(х), а ордината точки виходу у_вих = у₂(х).