Задачі, що приводять до поняття подвійного інтеграла

Задача про об’єм циліндричного тіла.

Нехай маємо тіло, обмежене зверху поверхнею z = f(x,y), знизу – замкненою областю D, обмеженою контуром L наплощині ХОУ, з боків – циліндричною поверхнеюС, напрямна якої збігається з межею області D, а твірні паралельні осі ОZ (Рис. 4). Таке тіло називають циліндричним.

Обчислимо його об’єм. Припустимо, що функція z = f(x,y) визначена, неперервна й невід’ємна в області D. Розіб'ємо область D довільним чином на n малих площ Ds₁, Ds₂, Ds_n, причому .

На кожній з малих площадок Ds_і побудуємо циліндр, обмежений зверху шматком поверхні S, яка проектується в площадку Ds_i. Цим самим все циліндричне тіло з основою s розіб'ється на n-стовпчиків з основою Ds_i, (і = 1, 2, … n).Позначимо об'єм стовпчика з основою Ds_i через DV_i. Тоді об'єм V циліндричного тіла дорівнює сумі об'ємів цих стовпчиків: .

Рис. 4

В кожній області Ds_i виберемо довільну точку P_i(x_i,y_i) і знайдемо значення функції в цій точці f(x_i, y_i) - аплікату z_і поверхні S: z_i = f(x_i, y_i). Обчислимо добуток , який дорівнює об’єму циліндричного стовпчика з твірними паралельними осі ОZ, основою Ds_i і висотою f(Р_i) = f(x_i, y_i):

.

Усього таких стовпчиків є n і сума їхніх об’ємів наближено дорівнює об’єму циліндричного тіла:

. (2.1)

Це наближення тим точніше, чим більше число n і чим менш розміри областей Ds_i. За точне значення об'єму V приймемо границю суми за умови, що число малих площадок Ds_і необмежено збільшується, а кожна площадка стягується в точку. Позначимо через l найбільший з діаметрів областей Ds_i. Тоді об’єм даного тіла визначається як границя суми (2.1) при l ® 0:

. (2.2)

Задача про масу пластинки.

Нехай маємо плоску неоднорідну пластинку, формою якої є область D (Рис. 5). В області D задана неперервна функціяg = g(x, y), яка визначає густину пластинки в точці (x, y). Знайдемо масу m пластинки.

Рис. 5

Нехай маємо плоску неоднорідну пластинку, формою якої є область D (Рис. 5). В області D задана неперервна функція g = g(x, y), яка визначає густину пластинки в точці (x, y). Знайдемо масу m пластинки. Для цього довільним чином розіб’ємо область D на частини, які не мають спільних внутрішніх точок, і площі яких дорівнюють Ds_i, і = 1, 2, … n. У кожній області Ds_i візьмемо довільну точку P_i(x_i,y_i)і знайдемо густину в цій точці:

g (Р_і) = g (x_і, y_і).

Якщо розміри Ds_i достатньо малі, то густина в кожній точці мало відрізнятиметься від значення g (Р_і). Тоді добуток g (Р_і)Ds_i наближено визначає масу цієї частини пластинки, яка займає область Ds_i, а сума є наближеним значенням маси m всієї пластинки:

.

Точне значення маси дістанемо як границю суми:

. (2.3)

Таким чином дві різні за змістом задачі ми звели до знаходження границь (2.2) і (2.3) одного й того самого виду.

Означення. Якщо інтегральна сума (2.1) при l ® 0 (де l = ). має скінчену границю, яка не залежить ні від способу розбиття області D, ні від вибору точок Р_i в них, то ця границя називається подвійним інтегралом від функції f(x,y) по області D і позначається: , або .

Таким чином за означенням:

= . (2.4)

У цьому випадку функція f(x_i, y_i) називається інтегрованою в області D, область D – областю інтегрування, x, y – змінними інтегрування, Ds_i (або dxdy) – елементом площі.

Теорема (достатня умова інтегровності функції). Якщо функція f(x, y) неперервна в замкненій обмеженій області D, то вона інтегровна в цій області.

Геометричний зміст: якщо f(x, y) > 0, то

,

де V – об’єм циліндричного тіла, обмеженого зверху поверхнею z = f(x,y) ³ 0, знизу – замкненою обмеженою областю D на площині ХОУ, з боків – циліндричною поверхнею, напрямна якої збігається з межею області D, а твірні паралельні осі ОZ.

Механічний зміст: якщо f(x, y) > 0, то

,

де m – маса пластинки з густиною f(x,y) в точці P(x, y), яка належить області D.