1. Гипербола лежит за полосой со сторонами x = ± a.
Действительно, согласно уравнению гиперболы, имеет место неравенство
2. Гипербола является симметричной относительно начала координат и относительно координатных осей. Это вытекает из того, что в уравнение гиперболы переменные x и y входят в квадратах х2 и у2, и уравнению гиперболы удовлетворяют точки с координатами (х, у),
(− х, у), (х, − у), (− х, − у).
3. Гипербола имеет две асимптоты
к которым приближаются точки гиперболы при удалении их от начала координат.
4. Оси симметрии называются осями гиперболы, а центр симметрии (точка пересечения осей) — центром гиперболы. Одна из осей пересекается с гиперболой в двух точках А и С, которые называются ее вершинами. Эта ось называется действительной осью гиперболы. Другая ось не имеет общих точек с гиперболой и называется мнимой осью гиперболы. Прямоугольник со сторонами 2а и 2b называется основным прямоугольником гиперболы. Величины а и b называются, соответственно, действительной и мнимой полуосями.
5. Гипербола с равными полуосями а = b называется равносторонней и ее каноническое уравнение имеет вид
x2 − y2 = a2.
Так как основной прямоугольник равносторонней гиперболы является квадратом, то асимптоты равносторонней гиперболы перпендикулярны друг другу.
Эксцентриситет гиперболы (как и эллипса) обозначим буквой ε. Так как с > а: то ε > 1, т. е. эксцентриситет гиперболы больше единицы. Очевидно,
Из последнего равенства легко получается геометрическое истолкование эксцентриситета гиперболы. Чем меньше эксцентриситет, т. е. чем ближе он к единице, тем меньше отношение b ⁄ a, а это означает, что основной прямоугольник более вытянут в направлении действительной оси. Таким образом, эксцентриситет гиперболы характеризует форму ее основного прямоугольника, а, значит, и форму самой гиперболы.
В случае равносторонней гиперболы ( a = b) ε = √2.
ОПР 2. . Две прямые, перпендикулярные действительной оси гиперболы и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии а ⁄ ε от него, называются директрисами гиперболы.
Установленное свойство эллипса и гиперболы можно положить в основу общего определения этих линий: множество точек, для которых отношение расстояний до фокуса и до соответствующей директрисы является величиной постоянной, равной ε, является эллипсом, если ε < 1, и гиперболой, если ε > 1.