ОПР 1. Гиперболой называют геометрическое место точек на плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.
Для вывода канонического уравнения гиперболы выберем систему координат следующим образом:
- ось абсцисс проведём через фокусы;
- начало координат выберем посередине между фокусами.
По условию F1F2 = 2с, тогда фокусы имеют координаты F1(- с, 0), F2(с, 0).
Пусть М(x, y) — произвольная точка гиперболы, тогда по определению |МF1| − |МF2| = 2a
Воспользовавшись формулой расстояния между двумя точками и, проведя процедуру избавления от иррациональности, получим:
Если ввести обозначение b2 = c2 − a2, то уравнение гиперболы примет вид
x2·b2 − a2·y2 = a2 b2.
Выполнив преобразование, аналогичное выводу уравнения эллипса, получим каноническое уравнение гиперболы:
