Свойства эллипса

1. Так как

то эллипс лежит внутри прямоугольника со сторонами х = ± а, у = ± b.

2. Эллипс является симметричным относительно начала координат и относительно осей координат. Это следует из-за того, что в уравнении эллипса переменные x и y входят квадратами x², y². Если уравнению эллипса удовлетворяет точка с координатами x и y, то уравнению эллипса будут удовлетворять точки с координатами ( −x, − y), (− x, y), (x, − y).

3. Фокусы эллипса лежат на его большой оси эллипса.

4. Оси симметрии эллипса называются его осями, а центр симметрии (точка пересечения осей) — центром эллипса. Точки, в которых эллипс пересекает оси, называются его вершинами. Вершины ограничивают на осях отрезки, равные 2·а и 2·b. Если а ≥ b, величины а и b называются соответственно большой и малой полуосями эллипса.

Замечание . Если а = b, то уравнение эллипса принимает вид x² + y²= a². Это уравнение окружности радиуса а. Таким образом, окружность — частный случай эллипса. Заметим, что эллипс можно получить из окружности радиуса а, если сжать ее в а ⁄ b раз вдоль оси Оу.

ОПР 3. Эксцентриситетомназывается отношение c ⁄ a, где с — половина расстояния между фокусами, а — большая полуось эллипса.

Эксцентриситет обозначают буквой ε:

ε = c⁄ a.

Так как ε = с ⁄ a, то 0 ≤ ε ≤ 1.

Принимая во внимание, что ε² = с² ⁄ a² = ( a² – b²) ⁄ a² = 1 – (a ⁄ b)², получим

Из последнего равенства легко получается геометрическое истолкование эксцентриситета эллипса:при очень малом ε числа а и b почти равны, т.е. эллипс близок к окружности. Если же значение ε близко к единице, то число b весьма мало по сравнению с числом а, и эллипс сильно вытянут вдоль большой оси. Таким образом, эксцентриситет эллипса характеризует меру вытянутости эллипса.

ОПР 4. Две прямые, перпендикулярные большой оси эллипса и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии а⁄ ε от него, называются директрисами эллипса (здесь, а — большая полуось, ε — эксцентриситет эллипса).

Так как для эллипса ε < 1, то a ⁄ ε > a. Отсюда следует, что правая директриса расположена правее правой вершины эллипса, а левая — левее левой вершины.