ОПР 1. Эллипсом называется геометрическое место точек на плоскости, сумма расстояний от которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.
F1 и F2 – фокусы,
| F1F2 | = 2с — расстояние между фокусами,
| MF1 | + |MF2| = 2·a , a>c — определение эллипса.
ОПР 2. Система координат, в которой уравнение имеет наиболее простой вид, называется канонической.
Проведём ось абсцисс через фокусы. Начало координат поместим в середине между фокусами. При этом ось ординат направим перпендикулярно фокальной оси. Пусть М(х, у) — произвольная точка на эллипсе, тогда F1(- c; 0) и F2(c; 0) – координаты его фокусов. Расстояния от текущей точки эллипса до её фокусов называются фокальными расстояниями |MF1| = r1, |MF2| = r2 и, по определению эллипса, имеем r1 + r2 = 2·a.
Воспользовавшись формулой расстояния между двумя точками, из определения эллипса имеем:
Избавимся от иррациональности, возведя обе части соотношения
в квадрат:
далее
Разделив обе части последнего соотношения на a2b2, получим каноническое уравнение эллипса:
.
