Если во всех точках дуги АВ существует касательная, то на дуге АВ найдется хотя бы одна точка С, в которой касательная параллельна хорде.
Замечание. Теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа (если положить 
).
Теорема Коши. Пусть функции 
и 
непрерывны на отрезке 
и дифференцируемы во всех внутренних точках этого отрезка, причем 
. Тогда внутри отрезка найдется такая точка х0, что 
.
Доказательство:
Знаменатель 
. В противном случае, если 
, то есть 
, то по теореме Ролля 
: 
, что противоречит условию теоремы Коши.
Введем вспомогательную функцию 
.
1) 
непрерывна на (как разность непрерывных функций);
2) имеет конечную производную в интервале (a;b), а именно 
;
3) Найдем значения на концах отрезка :
То есть 
. Таким образом, удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Тогда внутри найдется такая точка х0, что 
. 
(делим на 
) , что и требовалось доказать.
– формула Коши.
Замечание. Теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши (если положить 
).
Замечание. Теорему Коши нельзя доказать, применив теорему Лагранжа к числителю и знаменателю, так как получим 
или 
, где 
(вообще говоря).
