, где 
– угол наклона касательной. 
, то есть в точке с абсциссой х0, где функция имеет наибольшее (наименьшее) значение, касательная к графику функции параллельна оси Ох.
Теорема Ролля. Пусть функция 
непрерывна на отрезке 
, дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка и на концах отрезка принимает равные значения 
. Тогда внутри отрезка найдется хотя бы одна точка х0, что .
Доказательство:
Функция – непрерывна на она достигает на этом отрезке своего наибольшего М и наименьшего m значений (вторая теорема Вейерштрасса).
Рассмотрим два случая:
1) M=m (наибольшее и наименьшее значения совпадают).
Тогда на функция сохраняет постоянное значение, то есть f(x)=c=M=m 
. В качестве х0 можно взять любую точку 
.
2) 
(M>m)
Хотя бы одно из значений M или m достигается внутри отрезка (если оба на концах, то поскольку получим M=m, то есть первый случай). По теореме Ферма в этой внутренней точке х0 . Теорема доказана.
Геометрический смысл теоремы Ролля.
На кривой (для функции, удовлетворяющей теореме Ролля) найдется точка, в которой касательная параллельна оси Ох.
Теорема Лагранжа. Пусть функция непрерывна на отрезке и дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка. Тогда внутри отрезка найдется хотя бы одна точка х0, что будет выполняться равенство 
, где 
.
Доказательство:
– формула Лагранжа
Или 
, где
Обозначим: a=x, b=x+ 
. Тогда 
. 
Формулу Лагранжа называют формулой конечных разностей.
