Необходимое условие существования производной (связь между дифференцированием и непрерывностью)

Теорема. Непрерывность дифференцируемой функции. Если функция дифференцируема в некоторой точке x₀, то она в этой точке непрерывна.

Доказательство.

Дано: – дифференцируемая т. x₀, т.е.

Доказать: – непрерывна в т. x₀, т.е.

Из этой теоремы следует, что в точках разрыва функция не может иметь производной. Обратная теорема неверна: из того, что функция непрерывна в точке x₀ ещё не следует, что в этой точке функция дифференцируема.

Пример.