Определение производной

ГЛАВА VI. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ

Пусть функция определена на промежутке X.

Проделаем 5 операций.

1) Возьмем и вычислим значение функции

2) Дадим x₀ приращение ∆x, получим и вычислим новое значение функции

3) Найдем приращение функции

4) Составим отношение приращения функции к приращению аргумента

5) Найдем предел составленного отношения при ∆x→0:

Если этот предел существует, то его называют производной данной функции f(x) в точке x₀ и обозначают .

Определение. Производной функции в точке x₀ называется предел (если он существует и конечен) отношения приращения функции ∆y к приращению аргумента ∆x при стремлении ∆x к нулю.

При конкретном значении x₀ производная (если она существует) есть определенное число; если производная существует для всех , то производная является функцией от x. Обозначается .

Функция f(x) “порождает”, “производит” функцию , отсюда название.

Обозначают:

; – обозначения Лагранжа,

– обозначение Лейбница.

При конкретном x₀: , ,

Замечание. Если для некоторого x: или , то для этого x существует бесконечная производная.

Определение. Если функция определена в левосторонней (правосторонней) окрестности т. x₀ и существует конечный или бесконечный предел ( ), то он называется конечной или бесконечной производной слева (справа) функции в т. x₀ и обозначается ( ) - односторонние производные.

Из свойств пределов получаем:

Если f(x) определена в окрестности т. x₀, имеет конечную производную , то существуют односторонние производные, причем

.

Замечание. В дальнейшем под выражением “функция имеет производную” будем понимать существование конечной производной.

Определение. Операция нахождения производной от функции называется дифференцированием этой функции. Функция , имеющая производную в т. x₀, называется дифференцируемой в этой точке.