Обратная матрица

Обратной матрицей называется матрица, которая при умножении как справа, так и слева на данную матрицу дает единичную матрицу.Обозначим обратную матрицу к матрице А через , тогда согласно определению получим:

где Е – единичная матрица.

Квадратная матрица называется неособенной (невырожденной), если ее определитель не равен нулю. В противном случае она называется особенной (вырожденной) или сингулярной.

Имеет место теорема: всякая неособенная матрица имеет обратную матрицу.

Операция нахождения обратной матрицы называется обращением матрицы. Рассмотрим алгоритм обращения матрицы. Пусть дана неособенная матрица n-го порядка:

где Δ = det A ≠ 0.

Алгебраическим дополнением элемента матрицы n -го порядка А называется взятый с определенным знаком определитель матрицы (n –1)-го порядка, полученной вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца матрицы А:

Составим так называемую присоединенную матрицу:

где – алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы А.

Заметим, что алгебраические дополнения элементов строк матрицы А размещаются в соответствующих столбцах матрицы Ã, то есть одновременно производится транспонирование матрицы. Разделив все элементы матрицы Ã на Δ – величину определителя матрицы А, получим в результате обратную матрицу :

Отметим ряд особых свойств обратной матрицы:

1) для данной матрицы А ее обратная матрица является единственной;

2) если существует обратная матрица , то правая обратная и левая обратная матрицы совпадают с ней;

3) особенная (вырожденная) квадратная матрица не имеет обратной матрицы.

Основные свойства обратной матрицы:

1) определитель обратной матрицы и определитель исходной матрицы являются обратными величинами;

2) обратная матрица произведения квадратных матриц равна произведениюобратных матриц сомножителей, взятому в обратном порядке:

3) транспонированная обратная матрица равна обратной матрице от данной транспонированной матрицы:

П р и м е р . Вычислить матрицу, обратную данной:

Р е ш е н и е . Определитель матрицы А равен:

Следовательно, матрица А неособенная. Присоединенная матрица Ã имеет вид:

Разделив все элементы присоединенной матрицыà на Δ = 1, получим обратную матрицу :

Проверим, что действительно,

Таким образом, найденная матрица является обратной для заданной матрицы А.