Замена в матрице размерности m×n
строк соответственно столбцами, дает так называемую транспонированную матрицу размерности n×m :
В частности, для вектора-строки 
транспонированной матрицей является вектор-столбец
Основные свойства транспонированной матрицы:
1) дважды транспонированная матрица совпадает с исходной:
2) транспонированная матрица суммы матриц равна сумме транспонированных матриц слагаемых, то есть
3) транспонированная матрица произведения матриц равна произведению транспонированных матриц сомножителей, взятому в обратном порядке:
Для квадратной матрицы имеет место очевидное равенство:
Если матрица совпадает со своей транспонированной
то она называется симметрической. Из последнего равенства следует, что симметрическая матрица является квадратной, и ее элементы, симметричные относительно главной диагонали, равны между собой: 
Очевидно, что произведение 
является симметрической матрицей, так как, используя свойство 3, получим:
П р и м е р . Даны матрица А и транспонированная матрица 
:
Вычислить произведения 
Р е ш е н и е .
Как и следовало ожидать, получены симметрические матрицы.
