Расчетные формулы по теме «ЭМ»

Ф = BS – магнитный поток, где B = const.

R_м= l / μ₀μSN²– магнитное сопротивление.

H = B / μ₀μ– напряженность магнитного поля.

H ~ ФR_м ~ IN – магнитное напряжение (Hl).

L = ФN/I – индуктивность (L = μ₀μN²S /l ).

Диамагнетики: –1 < x < 0; |x| ~10^–5; B' = μ₀xH~0 → B = μ₀H,x – магнитная восприимчивость.

Парамагнетики: 0 < x < 1; x ~ 10^–4; B' = μ₀xH ~ 0 → B = μ₀H.

Ферромагнетики: μ ≈ 10³–10⁴; B' = μ₀xH ≠ 0 → B = B₀ + μ₀J;

μ₀μH = μ₀H + μ₀xH → μ = 1 + x.

W = ФI/2 = LI²/2 – энергия магнитного поля катушки.

ω = W/V = LI²/2V = μ₀μH²/2 = BH/2 = B²/2μ₀μ– плотность энергии магнитного поля внутри катушки.

L = L₁ + L₂ – индуктивность двух индуктивно не связанных катушек.

L = L₁ + L₂± – индуктивность индуктивно связанных катушек.

1/L = 1/L₁ + 1/L₂– параллельное соединение двух индуктивно не связанных катушек.

Трансформатор – устройство, преобразующее переменный ток одного напряжения в переменный ток другого напряжения. Потери Ф → 0. Примем

S₁= S₂,μ₁= μ₂,Ф₁ = Ф₂, B₁ = B₂, H₁ = H₂.

По закону полного тока Hl = I₁N₁; Hl = I₂N₂→ I₁N₁ = I₂↑N₂↓ – трансформатор понижающий (для сварки).

I₁N₁ = I₂↓N₂↑ – трансформатор для передачи энергии на расстояние.

Трансформатор на холостом ходу P = I₁U₁= I₂U₂; U₁N₂= U₂N₁.

ε_s = −dψ/dt = −d(LI)/dt – индукционная ЭДС, где ε_s – мгновенное значение индукционной ЭДС, ψ − потокосцепление, dψ/dt – производная потокосцепления по времени.

<ε_s> = Δψ/Δt – среднее значение индукционной ЭДС, где <ε > – среднее значение индукционной ЭДС, Δψ – изменение потокосцепления, – промежуток времени, в течение которого происходит потокосцепление.

ε_s = −LdI/dt – ЭДС самоиндукции, где ε_s – мгновенное значение ЭДС самоиндукции, L – индуктивность, dI/dt – скорость изменения силы тока в контуре (производная силы тока по времени).

<ε_s> = LΔI/Δt – среднее значение ЭДС самоиндукции, где L – индуктивность контура, ΔI – изменение силы тока за промежуток времени Δt.

I = I₀e^–t/τ; I = I₀(1 − e^–t/τ)– токи при размыкании и при замыкании цепи, где τ = L/R – время релаксации (L – индуктивность, R – сопротивление), время, в течение которого значение тока уменьшается в e раз (e = 2,72).

6.3. Тестовые задачи по теме «ЭМ»

ЭМ 1. Контур в магнитном поле. По двум длинным металлическим стержням (рельсам), образующим угол α с горизонтальной поверхностью, скатывается без трения металлическая перемычка (тележка) длиной l и массой m. Вверху стержни замкнуты резистором R. Стержни и перемычка сопротивления не имеют. Контур находится в однородном магнитном поле с индукцией , направленной вертикально. Обозначения параметров контура при установившейся постоянной максимальной скорости движения перемычки. Во сколько раз изменятся параметры: 1) v – скорость перемычки, 2) ε – ЭДС, наводимая в контуре, 3) I – сила тока в цепи, 4) P – мощность тока в цепи, 5) F – сила Ампера. 1) Ф – скорость изменения магнитного потока, сцепленного с контуром, 2) – скорость изменения магнитного момента контура, 3) – скорость изменения электрического заряда, 4) – скорость изменения работы по перемещению контура с током в магнитном поле, 5) – скорость изменения момента сил, действующего на контур с током, если во втором опыте: импульс перемычки p ↓ 4, m ↑ 2, В =, R =,α = ?

Ответы: v ↓ 8, ε ↓ 2, I ↓ 2, P ↓ 4, F_A ↑ 2, ↓ 2, ↓ 4, ↓ 2, ↓ 4, ↓ 4.

1. – скорость перемычки.

2. – индукционная ЭДС.

3. – сила тока в цепи.

4. – мощность тока в цепи.

5. – сила Ампера.

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

Задаваемые параметры:m, R, l, B, Ф, , , P, .

ЭМ 2. Катушка. Плоская катушка площадью S, состоящая из N витков провода длиной l,находится в однородном магнитном поле. Нормаль к плоскости катушки составляет угол α = 60º с вектором . Провод катушки имеет сечение S₁ и удельную проводимость σ. По катушке течет постоянный ток. Во сколько раз изменятся параметры катушки: 1) p_m – магнитный момент катушки, 2) M – момент сил, действующих на катушку, 3) ψ – потокосцепление катушки, 4) A – работа поля, совершаемая при повороте катушки в устойчивое состояние; далее: 5) q – заряд, протекающий по катушке, при полном выключении магнитного поля, если во втором опыте: S ↓ 4, N ↑ 2, j ↑ 8, B ↑ 2, S₁=, ρ =, 𝓁= ?

Ответы: p_m ↑ 4, M ↑ 8, y =, A ↑ 8, q =.

1. – магнитный момент катушки.

2. – момент сил, действующий на катушку.

3. ψ = ФN → ψ = BSNcosα– потокосцепление,

4. dA = IdФ→ A = BSNI(1 − cosα)– работа поля.

5. q = ∆Ф/R → q = B – заряд, протекающий по катушке.

Задаваемые параметры:I, j,ω_э, E, R, S, N, B,ψ, H.

ЭМ 3. Соленоид. Соленоид диаметром d имеет однослойную обмотку из плотно прилегающих друг к другу витков N провода диаметром d₁ с удельной проводимостью σ. По соленоиду течет постоянный ток. Диаметр d соленоида считать малым по сравнению с ее длиной l. Во сколько раз изменятся параметры магнитного поля соленоида: 1) L – индуктивность (Гн) соленоида, 2) ψ – потокосцепление (Вб) соленоида, 3) B – магнитная индукция (Тл), 4) W – энергия (Дж) магнитного поля, 5) ω_м – объемная плотность энергии (Дж/м) в соленоиде, если во втором опыте: мощность тока P ↑ 256, N ↑ 4, d ↓ 4, ρ =,𝓁 =, d₁= ?

Ответы: L ↓ 4, ψ ↑ 4, B ↑ 16, W ↑ 64, ω_м ↑ 256.

1. L – индуктивность соленоида.

2. ψ = ФN → ψ – потокосцепление.

3. B = μ₀μIn → – индукция магнитного поля.

4.
– энергия магнитного поля.

5. Hl= IN→ – объемная плотность энергии в соленоиде.

Задаваемые параметры:I, j, ω_э, E,ρ,d₁, R, P, N, S, l, Ф, H.

ЭМ 4. Индуктор. Индуктор, имеющий вид плоской рамки площадью S = 0,01 м², состоящий из N витков, равномерно вращается в однородном магнитном поле индукцией B = 0,1 Тл. Индуктор замкнут на внешнее сопротивление R. За время τ = 2π с индуктор делает n оборотов. Сопротивление обмотки индуктора не учитывать. При t = 0 → ε =. Определите параметры индуктора: 1) ε₀ – максимальное значение ЭДС (B), 2) ε – мгновенное значение ЭДС (B) в момент времени t, 3) ε_д– действующее значение ЭДС (B), 4) I₀ – максимальное значение силы тока (A), 5) I – мгновенное значение силы тока (A) в момент времени t.

Дано: N = 100, n = 600, R = 2 Ом,

Ответы: ε₀ = 60 B, ε = 30 B, ε_д = 43 B, I₀ = 30 A, I = 15 A.

Изменение магнитного потока Ф = BSNcos(ωt), откуда ЭДС , максимальная ЭДС ε₀ = BSNω, действующее значение ЭДС ; ; ; .

Задаваемые параметры:B, S, N,ω, n, t, R.