Электромагнитные колебания (ЭМК)

7.1.Собственные незатухающие электромагнитные колебания

1. Контур LC. Электромагнитный колебательный контур (ЭМК) состоит из конденсатора емкостью С = ε₀εS / d с емкостным сопротивлением R_C = 1/ωC и катушки индуктивностью L = μ₀μN²S/l , индуктивным сопротивлением R_L = ωL, где e – относительная диэлектрическая проницаемость среды, m – относительная магнитная проницаемость среды, w– циклическая частота, – площадь, d – расстояние между пластинами конденсатора, N – число витков в катушке. Максимальная энергия электрического (э) поля в конденсаторе, максимальная энергия магнитного (м) поля в катушке. В любой момент времени суммарная энергия. При удельном сопротивлении r →0 убыль энергии ΔW →0, отсюда

Учитывая, что сила тока i = –q, а производная (i)′ , запишем дифференциальное уравнение

Решением дифференциального уравнения является функция

q = q₀cos(ω₀t + φ₀),

где циклическая частота w₀ = 2p/Т₀;1/LC = w₀².

В ЭМК изменяются по гармоническому закону: в конденсаторе – заряд q, напряжение U, напряженность электрического поля E, плотность энергии электрического поля ω_э, энергия электрического поля W_э, поверхностная плотность заряда s; в катушке– магнитный поток Ф, индукция магнитного поля B, напряженность магнитного поля H, сила тока i, плотность энергии магнитного поля w_м, энергия магнитного поля W_м, ЭДС самоиндукции ε_s.

Ниже приведены соответствующие формулы:

,

,

/ 2.

При условии ,получим .

В ЭМК заряд q опережает силу тока i по фазе на π/2, а ЭДС самоиндукции ε_s – на π, сила тока i опережает ЭДС самоиндукции ε_s по фазе на π/2.

2. Контуры C; L; RLC в цепи переменного напряжения.

а) На емкость подано переменное напряжение .

При t₀= 0® ₀= 0; R = 0, L = 0.В цепи сила тока опережает напряжение по фазе на .

б) На индуктивность подано напряжение .

При t₀= 0 ® ₀= 0; R = 0, C = 0. В цепи сила тока отстает от напряжения по фазе на .

в) На контур подано напряжение . При условии сила тока опережает напряжение по фазе , а общее сопротивление цепи (импеданс) .

Закон Ома .

Резонанс напряжения. При условии сдвиг фазы . Ток и напряжение совпадают по фазе. Сила тока .

Активная мощность , реактивная мощность действующее значение напряжения U_Д = U₀/ _, действующее значение силы тока , определяемое по тепловому эффекту.

7.2.Собственные затухающие ЭМК

При удельном сопротивлении ρ≠ 0 убыль энергии в контуре RLC равна джоулевой теплоте:

.

При известном условии = - запишем дифференциальное уравнение:

, где R/L = 2β, 1/LC = . Решением дифференциального уравнения

является функция .

Затухающие колебания характеризуются коэффициентом затухания , циклической частотой , логарифмическим декрементом затухания , добротностью , временем релаксации , в течение которого амплитуда колебаний уменьшится в e раз (A₁/A_i= e). Волновое сопротивление r~ . При значениях r < R_a добротность контура Q , число колебаний за время релаксации N_eи наоборот при r >R_a , следует Q , число колебаний за время релаксации N_e ↓, τ↓.

7.3. Расчетные формулы по теме «ЭМК»

Свободные ЭМК (0 – максимальное значение).

· – дифференциальное уравнение, описывающее свободные гармонические колебания заряда в колебательном контуре.

– закон изменения заряда q (силы тока , ЭДС самоиндукции ) в зависимости от времени электромагнитных гармонических колебаний .

· – закон изменения напряжения на конденсаторе.

· – закон изменения силы тока в контуре.

· – закон изменения ЭДС самоиндукции в контуре.

· – амплитуда напряжения.

· – амплитуда силы тока.

· C – изменение ЭДС самоиндукции.

· – собственная частота контура, q₀ – амплитуда колебаний заряда.

· – формула Томсона.

· / 2C + Li²/ 2 – полная энергия электромагнитного поля колебательного контура.

Затухающие ЭМК

· – уравнение затухающих колебаний.

· – закон изменения заряда.

· – циклическая частота затухающих колебаний.

· – коэффициент затухания.

· = ln(A_t / A_t ₊_T) = – логарифмический декремент затухания, N_e – число колебаний за время релаксации.

· – добротность контура.